إيجاد المتتاليات والمتسلسلات الهندسية وأشكالها وهي فروع الرياضيات وتعبر عن مجموعة من الأرقام والمتسلسلات تعبر عن سلسلة محددة من المصطلحات وسنشرح البحث في هذه المقالة.

مقدمة في دراسة المتتاليات والمتسلسلات الهندسية وأشكالها

يتم تضمين الرياضيات في جميع فروعها، بما في ذلك المتتاليات والمتسلسلات الهندسية، لأن الإنسان يحتاجها لإجراء معاملات حسابية ولشراء التزامات معينة يحتاجها باستمرار.

أقدم لكم اليوم أيضًا شيئًا أكثر: دراسة تفصيلية لخصائص الأعداد الحقيقية

ما هي التسلسلات؟

  • بعد البحث عن المتواليات والمسلسلات الهندسية وأشكالها، يمكن تعريف التسلسل على أنه مجموعة من الأرقام، كل رقم في التسلسل له نمط مرتبط به.
  • عادة ما يتبع التسلسل نمطًا وترتيبًا خاصًا للتحكم في كل رقم فيه، ويسمى كل رقم في التسلسل رقمًا محددًا.
  • مثال على التسلسل. إذا افترضنا أن هناك مربعات متصلة وأن هناك عدة كرات في كل صندوق، فإن ترتيب الصناديق هو رقم الحد، وليس المربع نفسه هو رقم الحد، ويتم استدعاء عدد الكرات في المربع ؛ التكلفة الحدية.
  • أو إذا افترضنا أن هناك قطارًا، وهناك 20 عربة، ولكل عربة عدد الركاب، وهذه العربات تعتبر أرقامًا محدودة، فإن عدد الركاب هو قيمة حدية.
  • على سبيل المثال، يبلغ عدد الركاب حوالي 12، و 15 هو الحد الأقصى، و 12 هو الحد الأقصى.

1- المتتاليات الهندسية

  • يمكن تعريف التسلسل الهندسي على أنه تسلسل تتساوى فيه نسبة كل رقم إلى رقمين متتاليين.
  • أمثلة على هذه التسلسلات: 2، 6، 18، 54، 162 هذا تسلسل هندسي يتكون من 5 عناصر، وعنصره الأول يساوي 2، وكل رقم متتالي من هذه الأرقام هو النسبة بينهما.
  • مثال 6/2 = 3، 54/18 = 3 يمكن إيجاد القاعدة العامة لكل سلسلة هندسية بالصيغة التالية: HN = A × R (N -1)
  • حيث A هو العنصر الأول في التسلسل الهندسي ويسمى التسلسل الأساسي، R هو ثابت النسبة للتسلسل الهندسي.
  • يمكن إيجاده بقسمة أي حدين متتاليين من متتالية هندسية.
  • يمكن إظهار ذلك من خلال المثال التالي. ما هي قواعد الترتيب الهندسي التالي: 5، 10، 20، 40، …؟
  • HN = A x T (N-1)، العنصر الأول في التسلسل A هو: أ = 5، النسبة بين كل من العنصرين المتتاليين هي: إذن أساس هذا التسلسل هو: HN = 5 X 2 (N-1)
  • اتبع القواعد التالية لإيجاد مجموع المتتاليات الهندسية في N حتى حد معين إذا كان R < 1, ապա՝ Գումար = A × (1-միջակայք) / (1-r) Եթե T > 1، ثم: المجموع = A × (تشغيل- 1) / (R-1).

2- ملاحظات عن المتتاليات الهندسية

  • بعد إضافة بحث عن المتواليات والمتسلسلات الهندسية وأشكالها، يمكن للمرء تحديد المصطلح n من التسلسل الهندسي H = A، RUN -1، حيث A هو المصطلح الأول و R هو أساس المتسلسلة.
  • المتوسط ​​الهندسي بين الرقمين a و b هما عناصر التسلسل، والعنصر الأول هو a والعنصر الأخير فقط هو b.
  • إذا كانت الأرقام a و b و c عناصر هندسية متصلة، فإن b هو المتوسط ​​الهندسي. حيث: أ / ب = ب / ج → ب = جذر تربيعي موجب وسالب فأس ج.

ولا تفوت قراءة المزيد: البحث في الاستدلال الاستنتاجي في الرياضيات

أوجد قاعدة التسلسل

  • يمكنك إيجاد قواعد المتسلسلة عن طريق تحديد نوع المتسلسلة، وتحديد ما إذا كانت متتالية حسابية أم متتالية هندسية، ثم إيجاد قواعدها وفقًا للطريقة أعلاه.
  • إذا لم يكن التسلسل حسابيًا أو هندسيًا أو فيبوناتشي، فيمكنك معرفة قواعده عن طريق التجربة والخطأ.
  • بمعنى آخر، حاول تخمين العلاقة بين الأرقام المختلفة.
  • على سبيل المثال، يمكنك معرفة قواعد الترتيب التالية: 1، 4، 9، 16، والتي لا يمكن اعتبارها حسابية أو هندسية، عن طريق التجربة والخطأ.
  • مع ملاحظة أن كل رقم من أرقامه يساوي مربع رتبته، أي H n = n²، حيث أن 1² = 1، 2² = 4، 3² = 9، 4² = 16.
  • بإيجاد قواعد المتسلسلة، يمكننا إيجاد الحدود المتبقية: 1، 4، 9، 16، 25، 36، 49.

استخدم التسلسل

  • التسلسل عبارة عن مجموعة من الأرقام بنمط معين يستخدم في العديد من العمليات التي يعتمد عليها البناء، ويعتمد البناء الرياضي عليها بشكل خاص ويتم تضمينه في العديد من التطبيقات الرياضية.
  • على سبيل المثال، عندما نحتاج إلى تنظيم ديون الشخص المتبقية، فإننا غالبًا ما نستخدم التسلسل.
  • يمكن أيضًا استخدام هذه التسلسلات لحساب الأقساط واستخدامها في الأنشطة التجارية الأخرى، وخاصة الأعمال المصرفية.

أمثلة على بعض التسلسلات

1- المثال الأول

ما حد 35 في التسلسل التالي: 3، 9، 15، 21، ……؟

الحل

لحل هذه المشكلة، يمكنك استخدام قاعدة التسلسل الحسابي: HN = H 1 + (N -1) XD نحصل على:

  • الفرق بين كل عنصرين متتاليين من هذا التسلسل هو: D = 6، والعنصر الأول هو 3، لذلك قاعدته هي: HN = 3 + (N-1) X 6 = 6 XN -3.
  • يمثل N ترتيب العناصر التي يجب إيجادها، والتي تساوي 35، لذلك: عن طريق الاستبدال الكنسي، فإن 35 عنصرًا هي: V35 = 6 x N -3 = (6 x 35) -3 = 207.

2- المثال الثاني

متتالية حسابية حيث الحد 5 يساوي -8 والحد 35 يساوي 72، ما هي قواعد المتتابعة وما هي قيمة حد النسبة المئوية؟

الحل

  • نظرًا لأن هذا التسلسل عبارة عن تسلسل حسابي، فإن قاعدته العامة هي: HN = H 1 + (N -1) XD للعثور على قيمة أي عنصر، يجب أولاً إيجاد قيمة العناصر التالية: H 1، D.
  • بما أن الحد الخامس هو -8، إذن -8 = H1 + (5-1) x D (المعادلة الأولى).
  • بما أن الحد 25 يساوي 72، إذن 72 = H 1 + (25-1) xD (المعادلة الثانية) الآن لدينا معادلتان، ونقوم بالحذف من خلال حل هاتين المعادلتين ثم H 1 = – 24، D = 4.
  • مما سبق يتضح أن أساس المتتالية الحسابية هي HN = -24 + (N -1) X 4، لذلك يمكن إيجاد قيمة هذا المصطلح باستبدال هذه القاعدة كما هو موضح أدناه: H 100 = – 24 + (100-1) × 4 = 372.

3- المثال الثالث

ما حكم الترتيب الآتي: 4، 5، 6، 7، …؟

الحل

  • للعثور على العناصر المفقودة، تحتاج أولاً إلى فهم نوع التسلسل.
  • يتم ذلك من خلال النظر إلى النقاط في تسلسل العمليات الحسابية.
  • القاعدة العامة هي: HN = 4+ (N-1) X 1 = N +3 بما أن الحد الأول هو 4، فإن الفرق بين كل رقمين متتاليين هو 1.

سلسلة

  • بعد توضيح البحث عن المتتاليات والمتسلسلات الهندسية وأشكالها، يمكن تحديد أن السلسلة هي مجموع المصطلحات المتتالية.
  • تُعرف المصطلحات بين المصطلحين بالمتوسط ​​، ويمكن الحصول على السلسلة بوضع + بين شروط التسلسل.

أشكال متسلسلة

  • تعبر السلسلة عن مجموع المصطلحات المتتالية، وهو حاصل ضرب المجموع الأولي للمصطلحات، مع رمز مجموع السلاسل الجزئية.
  • هناك عدد لا حصر له من المصطلحات لسلسلة هندسية لا نهائية.
  • هناك نوعان من السلاسل: سلسلة هندسية متقاربة وسلسلة هندسية متباعدة.

لمزيد من التفاصيل، اقرأ هنا أسئلة التحصيل للرياضيات الثالثة مع الإجابات

إيجاد المتتاليات والمتسلسلات الهندسية وأشكالها

لقد وصلنا هنا إلى نهاية مسح المتتاليات والمسلسلات الهندسية وأشكالها، وقد أوضحنا بعض الأمثلة على المتواليات الهندسية وناقشنا تطبيق المتتاليات وتطبيقاتها على العديد من المشاكل.