الرسم البياني في الرياضيات

في رياضيات الرسم البياني والرياضيات وبشكل أكثر تحديدًا نظرية الرسم البياني، الرسم البياني هو بنية تربط مجموعة من الكائنات.

أيضًا، بعض أزواج الموضوعات “مرتبطة” بطريقة ما، اتبع موقع القلعةة للرسم البياني الرياضي.

رسم بياني

عادة ما يتم تمثيل الرسم البياني بشكل تخطيطي كمجموعة من النقاط أو الدوائر للرؤوس، متصلة بواسطة الحواف بخطوط أو منحنيات.

تمامًا كما الرسوم البيانية هي موضوع الرياضيات المنفصلة، يمكن توجيه الحواف أو عدم توجيهها.

فمثلا

إذا كانت هذه الرؤوس على شكل أفراد حاضرين في حفلة، وهناك ميزة بين شخصين إذا تصافحا.

هذا الرسم البياني غير موجه لأن أي شخص “أ” يمكنه مصافحة الشخص “ب” فقط إذا صافح الشخص “ب” أيضًا مع الشخص “أ”.

على العكس من ذلك، إذا تطابق أي حافة من الفرد A إلى الفرد B مع تشابه A إلى B، فسيتم توجيه هذا الرسم البياني.

هذا لأن التقارب لا يلزم أن يكون متبادلاً أو متبادلاً، والنوع السابق من الرسم البياني يسمى الرسم البياني غير المباشر.

النوع الأخير من الرسم البياني يسمى الرسم البياني الموجه.

الرسوم البيانية

إنه الموضوع الرئيسي الذي تمت دراسته بواسطة نظرية الرسم البياني، واستخدمت كلمة “رسم بياني” لأول مرة بهذا المعنى بواسطة جيمس جوزيف سيلفستر في ميلادي. في عام 1878.

أنظر أيضا: ما هي أنواع الفنون السبعة في الرسم؟

تعريف الرسم البياني وأنواعه

تختلف التعاريف في نظرية الرسم البياني. فيما يلي بعض الطرق الأساسية لتحديد الرسوم البيانية والهياكل الرياضية ذات الصلة:

رسم بياني

الرسم البياني عبارة عن زوج (G = (V، E)، حيث V عبارة عن مجموعة، تسمى عناصرها الرؤوس (فريدة: رأس)، و E.

مجموعتان من الرؤوس (مجموعتان من عنصرين مميزين) تسمى عناصرهما بالحواف (أحيانًا روابط أو خطوط).

تسمى الرؤوس x و y للحافة (x، y}) بنقطتي نهاية الحافة، ويقال أن الحافة تربط x و y، وهي حوادث x و y، وقد لا ينتمي الرأس إلى: أي حافة.

رسم بياني متعدد

إنه تعميم يسمح للحواف المتعددة بأن يكون لها نفس الزوج من نقاط النهاية، وفي بعض السيناريوهات تسمى الرسوم البيانية المتعددة ببساطة الرسوم البيانية.

في بعض الأحيان، يُسمح للرسوم البيانية بأن تحتوي على حلقات، وهي حواف تربط قمة نفسها، للسماح بالعقد.

يجب أيضًا تغيير التعريف أعلاه لتعريف الحافة على أنها مضاعف رأسين بدلاً من اثنين.

تسمى هذه الرسوم البيانية المعممة الرسوم البيانية الدورية، أو ببساطة الرسوم البيانية، عندما يكون واضحًا من السياق أن الحلقات مسموح بها.

رسم بياني فارغ

إنه رسم بياني به مجموعة فارغة من الرؤوس (وبالتالي مجموعة فارغة من الأضلاع).

ترتيب الرسم البياني هو عدد الرؤوس | V |، حجم الرسم البياني هو عدد حوافه | هـ |.

ومع ذلك، في بعض السياقات، مثل التعبير عن التعقيد الحسابي للخوارزميات، الحجم | الخامس |: + |: هـ |.

(بخلاف ذلك، يمكن أن يكون حجم الرسم البياني غير الفارغ 0).

درجة أو معادلة الرأس هي عدد الأضلاع الواقعة عليه، وبالنسبة للرسوم البيانية ذات الحلقات، تُحسب الحلقة مرتين.

مخطط موجه

الرسم البياني الموجه هو رسم بياني يتم توجيه حوافه بمعنى محدود.

ولكنه شائع جدًا للمصطلح، [8] الرسم البياني الموجه هو زوج مرتب (G = (V، E)) يتكون من:

• V، مجموعة من الرؤوس (تسمى أيضًا العقد أو النقاط)، مجموعة من الحواف.
• (تسمى أيضًا الحواف الموجهة أو الروابط الموجهة أو الأدلة أو الأسهم أو الأقواس.)
  • وهي مرتبة في أزواج من الرؤوس (أي أن الحافة متصلة برأسين مختلفين).

جدول مختلط

الرسم البياني المختلط هو رسم بياني حيث يمكن توجيه بعض الحواف والبعض الآخر غير موجه.

وهو عبارة عن ثلاثية مرتبة G = (V، E، A لرسم بياني مختلط بسيط، و G = (V، E، A، ϕE، A لجهاز كشف الكذب المختلط مع V E (حواف غير موجهة)، A (حواف موجهة)).

رسم بياني مرجح

رسم بياني أو شبكة مرجحة، رسم بياني يتم فيه تعيين رقم (وزن) لكل حافة.

يمكن أن تمثل هذه الأوزان، على سبيل المثال، التكاليف أو الأطوال أو القدرات، اعتمادًا على المشكلة المطروحة.

تظهر مثل هذه الرسوم البيانية في العديد من السياقات، مثل أقصر المسارات مثل مشكلة البائع المتجول.

أنواع الرسوم البيانية

مخطط موجه

• الرسم البياني الموجه هو رسم بياني موجه يمكن أن يكون فيه على الأكثر واحد (س، ص) و (س، ص) من الرسم البياني.
  • أي أنه رسم بياني موجه يمكن تشكيله كإتجاه لرسم بياني غير موجه.

جدول منتظم

• الرسم البياني العادي هو رسم بياني حيث لكل رأس نفس عدد الجيران، أي أن كل رأس له نفس الدرجة.
• الرسم البياني المنتظم برؤوس درجة k يسمى أيضًا الرسم البياني العادي k أو الرسم البياني العادي k درجة.

الجدول الزمني الكامل

• الرسم البياني الكامل هو رسم بياني حيث يتصل كل زوج من الرؤوس بحافة، ويحتوي الرسم البياني الكامل على جميع الحواف الممكنة.

جدول محدود

• الرسم البياني المحدود هو رسم بياني يكون رأسه ومجموعتا حوافه عبارة عن مجموعات محدودة، وإلا فإنه يسمى الرسم البياني اللانهائي.

رسم بياني متصل

• في الرسم البياني غير الموجه، يُطلق على زوج غير مرتب من الرؤوس {x، y} اسم مستمر إذا كان المسار يؤدي من x إلى y، وإلا فإن الزوج غير المرتب يسمى غير متصل.
• الرسم البياني المتصل هو رسم بياني غير موجه يرتبط فيه كل زوج من الرؤوس غير المرتبة في الرسم البياني، وإلا فإنه يسمى الرسم البياني غير المستمر.

اقرأ أيضًا: الفيزياء وعلاقتها بالعلوم الأخرى

ومن الأنواع الأخرى

• رسم بياني ثنائي.
• أيضا جدول الطريق.
• رسم بياني مسطح.
• أيضا الجدول الزمني للدورة.

الخصائص الرسومية

• يقال إن حافتي الرسم البياني متصلتان إذا كان لهما رأس مشترك.
• يشار إلى الرسوم البيانية للتسمية المرفقة بالحواف أو الرؤوس على أنها معنونة.
• فئة جميع الرسوم البيانية هي مجموعة المقاطع Set ↓ D، حيث D. Set → Set هو مسار التحويل الذي ينقل مجموعة s إلى sxs.

أمثلة

• الرسم البياني هو تمثيل تخطيطي للرسم البياني {V = {1، 2، 3، 4، 5، 6 برؤوس و {{E = {{1، 2}، {1، 5}، {2، 3}. ، {2}). ، 5}، {3، 4}، {4، 5}، {4، 6.
• تحدد العلاقة الثنائية R على مجموعة X رسمًا بيانيًا موجهًا، والعنصر x من X هو سلف مباشر لعنصر y في X إذا وفقط إذا كان xRy.
• يمكن للرسم البياني الموجه أن يصمم شبكات المعلومات مثل Twitter، حيث يتبع أحدهما الآخر.
• يتم إعطاء أمثلة منتظمة بشكل خاص للرسوم البيانية الموجهة، مع رسوم بيانية كايلي مصممة بدقة للمجموعات.
  • مخططات زائد للجوز الشرير.
• في نظرية الفئة، تحتوي كل فئة صغيرة على جهاز كشف الكذب المتجه الأساسي الذي تكون رؤوسه هي كائنات الفئة وحوافها هي أسهم الفئة في لغة نظرية التصنيف.
  • يقول المرء أيضًا أن هناك عاملًا منسيًا من الفئات الصغيرة إلى فئة الصدمة.

التعميمات

• يمكن أن تحتوي الحافة في الرسم البياني للارتباط التشعبي على أكثر من رأسين.
• يمكن اعتبار الرسم البياني غير المباشر معقدًا بسيطًا: 1 ​​مبسط (حواف)، 0 مبسط (رؤوس)، وهكذا.
  • المونتاج هي تعميمات الرسوم البيانية لأنها تسمح بتبسيط الأبعاد الأعلى.
• كل رسم بياني يؤدي إلى matroid.
• في نظرية النموذج، الرسم البياني هو مجرد هيكل، ولكن في هذه الحالة لا توجد حدود لعدد الحواف ؛ يمكن أن يكون أي عدد أولي.
• أيضًا، يقدم تحليل الرسم البياني للطاقة في علم الأحياء الحسابي رسومًا بيانية للطاقة كتمثيل بديل للرسوم البيانية غير الموجهة.
• أيضًا، تم تصميم الشبكات الهندسية في نظم المعلومات الجغرافية عن كثب بعد الرسوم البيانية
• كما أنه يستعير العديد من المفاهيم من نظرية الرسم البياني لإجراء التحليل المكاني على شبكات الطرق أو شبكات المرافق.

اقرأ أيضًا: الفيزياء الحيوية وتطبيقاتها

كانت هذه مراجعة لمخطط الرياضيات. نأمل أن يكون المحتوى مفيدًا لك وراضًا لك. لمواضيع الرياضيات الأخرى، قم بزيارة قسم الرياضيات في موقع Maqal.