دراسات حالة عن تشابه المثلثات يطلب المعلمون باستمرار من الطلاب دراسة حالات المثلثات المتشابهة، لأن علم المثلثات من أهم الموضوعات للطلاب في الصفوف الإعدادية، وهو يتحدث عن كل ما يتعلق بالمثلثات، سواء كانت نظريات أو قوانين أو رسومات. إلخ، ونتحدث عنها بمزيد من التفصيل في المقالة التالية.
الوريد الثلاثي وأنواعه
المثلث هو شكل مغلق مكون من 3 جوانب و 3 رؤوس و 3 زوايا، ومجموع الزوايا 180 درجة.
1_ متساوي الأضلاع
- يكون المثلث متساوي الأضلاع عندما تكون قياسات زاويته وأطوال أضلاعه متساوية، ومن ثم يصبح قياس الزاوية 60 درجة.
2_ الزاوية اليمنى
- إنه مثلث بزاوية رأسية 90 درجة.
3_ بالتساوي
- إنه مثلث له ضلعه أطوال متساوية والزوايا بين قاعدتهما متساوية.
4_ الضلوع المختلفة
- وهو مثلث لا يحتوي على زوايا أو جوانب متساوية في الحجم والطول، وهم من نوعين:
- مثلث بزاوية حادة أي قياسه أقل من 90 درجة، كأن قياس إحدى الزوايا 70 درجة، وقياس زاوية أخرى 60 درجة، والأخيرة 50 درجة، بحيث يكون المجموع 180 درجة درجات.
- بالنسبة لمثلث منفرج، أي أن قياسه أكبر من 90 درجة، يبدو الأمر كما لو أن إحدى الزوايا قياسها 100 درجة، وأخرى قياسها 50 درجة، وآخر قياسها 30 درجة، وبالتالي فإن المجموع النهائي هو 180 درجة.
ما هي المثلثات المتشابهة؟
- يتشابه المثلثان عندما تتساوى زواياهما المتقابلة، أي إذا كان أحدهما أصغر أو أكبر من الآخر، فإن المثلثين متشابهان.
- تصبح أطوال أضلاعها متناسبة، أي أن نسبة أطوال ضلعي المثلثات متساوية، ويشير هذا الرمز إلى تشابه المثلثات (~).
حالات عامة لتشابه المثلثات
- تتشابه المثلثات عندما تكون أطوال الأضلاع المتوافقة معها متناسبة.
- تتشابه المثلثات إذا كانت زاويتان داخل المثلث 1 تساوي زاويتين داخل المثلث 2.
- عندما تكون زاوية أحد المثلث مساوية لزاوية مثلث آخر، وتكون أطوال الأضلاع الواقعة بين تلك الزوايا متناسبة أيضًا، يكون المثلثان متشابهين.
نتائج التشابه بين المثلثات
- النسبة بين مناطق كل من المثلثات المتشابهة = (النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة) 2.
- نسبة محيط المثلثات المتشابهة = (نسبة أطوال أضلاعها المقابلة)
مثال يوضح تشابه المثلثات
- إذا كان هناك مثلث منفرج ABC، وهناك قطعة مستقيمة تسمى A`B، موازية للضلع ABB، يكون المثلثان متشابهين، لأن الزوايا بين القطعة المستقيمة والضلعين المتوازيين متطابقتان، وهي واحدة . من حالات تشابه المثلثات.
حالات تشابه المثلثات القائمة على اليمين
بالإضافة إلى ما قيل عن تشابه المثلثات، تتشابه المثلثات القائمة في الحالات التالية:
1_ بزاوية حادة
- عندما تتطابق زاويتان حادتان لمثلثين مختلفين قائمًا، يكون المثلثان متشابهين.
2_ الساق والوتر
- إذا كانت نسبة أطوال الوترين مساوية لنسبة أحد أطوال الأرجل في مثلثين قائم الزاوية، فإنهما متشابهان.
3_ بالأرجل
- إذا كان لمثلثين قائم الزاوية أرجل متقابلة متساوية الطول، فإن كلا المثلثين متشابهان.
ولا تتردد في قراءة المزيد من خلال استكشاف تأثير الزوايا المختلفة على دقة القياس
مجموعة من الخصائص المهمة للمثلثات المتشابهة
هناك بعض خصائص المثلثات المتشابهة.
- يمكن القول بأن مثلثين متشابهان بمجرد رؤية نفس الشكل، بغض النظر عن حجمهما.
- جميع المثلثات متساوية الأضلاع مثلثات متشابهة.
- إذا كان هناك زاويتان متساويتان في الحجم داخل مثلثين، فإن 3 بداخلهما متساوية.
- ضمن مثلثات متشابهة، كل زاوية تساوي الزاوية المقابلة لها.
- أي مثلث يشبه نفسه، وتسمى هذه الخاصية الانعكاسية.
- إذا كان المثلث مشابهًا لمثلث آخر، فمن الطبيعي أن يكون المثلث الثاني مشابهًا للمثلث الأول وتسمى هذه الخاصية خاصية متماثلة.
- إذا كان المثلث مشابهًا لمثلث آخر وكان هذا المثلث مشابهًا لمثلث آخر، فإن المثلث 1 يشبه المثلث 3 وتسمى هذه الخاصية متعدية.
- من الممكن استخدام خصائص التشابه للمثلثات عند حساب قياسات أطوال الأضلاع المجهولة لأحد المثلثات.
اقرأ أيضًا هنا: مسح المتتاليات الهندسية والمتسلسلات وأشكالها
أمثلة على حالات تشابه المثلثات
من المهم وضع المعلومات النظرية موضع التنفيذ، لذلك نقدم أمثلة محلولة لحالات تشابه المثلثات على النحو التالي.
1_ المثال 1
مثلثا أطوال أضلاعه 12 و 5 و 2 سنتيمتر والأخرى 24 و 10 و 4 هل المثلثان متطابقان؟
- يتم حساب النسبة بين أطوال كل جانب، وإذا كانت واحدة، فإن المثلثين متشابهان. في الواقع، عند قسمة الأطوال على بعضها البعض، يتم الحصول على الرقم 2 في كل منها، لذا فهي متشابهة. .
2_ المثال 2
مثلثان قائمان بطول رجل متقابل، قياس كل منهما 7، 2 سم، 10.5 سم، و 3 سم على التوالي، هل هما متشابهان وما هي نسبة قياسات أطوال الساق؟
- 5/7 = 1.5 و 3/2 = 1.5، لذا فإن النسبة متساوية، لذا فإن المثلثات متشابهة.
3_ المثال 3
أطوال أضلاع المثلث 1 لمثلثين من هذا القبيل هي 6، 7، 8 سنتيمترات، والمثلثات الأخرى أ، ب، 6.4 سنتيمترات، ما أطوال الأضلاع الأخرى؟
- نظرًا لأن المثلثين و 1 و 2 متشابهان، فإن نسبة أحجام أطوال الساق متساوية: 8 / 6.4 = 1.25.
- بالتعويض عن 6 / a = 1.25 نحصل على a = 4.8 cm، وإيجاد 7 / b = 1.25 واستبدال b مرة أخرى نحصل على a = 5.6 cm.
4_ المثال 4
المثلث الذي أطوال أضلاعه 4 و 2 و 5 سنتيمترات والآخر به جوانب 2.8 و 1.4 و 3.5 تتوافق مع أطوال أضلاع المثلث 1. هل هم نفس الشيء؟
- عند حساب نسبة أطوال جميع أضلاع كل من المثلثين، نجد أنها تساوي = 0.7، وبالتالي فإن المثلثين متشابهان.
5_ المثال 5
xy y هو مثلث قائم الزاوية يمثل x وإذا كان xy متعامدًا على الوتر y، فكم عدد مثلثات في هذا الشكل؟
- المثلثان الأولان xyz و yyx لهما زاويتان متطابقتان ومتطابقتان، وهما زاوية قائمة x وزاوية y، لذا فهما متشابهان.
- ثانيًا، المثلثان XYZ و HXZ هما نفس الحالة السابقة، لذا فهما متشابهان.
- لذلك ينتج 3 مثلثات متشابهة: xyz و yz و yx.
6_ المثال 6
2 مثلثين متشابهين لهما زاويتان قائمتان، طول قاعدة المثلث الأول 6 سم والآخر 20 سم والارتفاع 9 سم، فما هو قياس ارتفاع المثلث الآخر؟
- نظرًا لأن كلا المثلثين متشابهان، فإن نسبة أطوال كل جانب ستكون متساوية: 6/20 = 3.33.
- عندما نعوض النسبة الناتجة بين أطوال أضلاعه، فإن ارتفاع المثلث 2 يساوي 30 سم.
أدعوك أيضًا للتعرف على: بحث الفلك اكتشف علوم الجغرافيا الفلكية.
البحث عن حالات تشابه المثلثات
في النهاية انتهينا من شرح البحث عن حالات تشابه المثلثات مع الطلاب ومن المهم الإشارة إلى أن علم المثلثات موضوع مهم ومهم في حياتنا اليومية، لذلك من المهم التركيز على حالات التشابه، النظريات والخصائص للحصول على درجات أعلى فيه.