البحث في الاستدلال والإثبات في الأوراق الرياضية، هناك العديد من المصطلحات التي نستخدمها في الرياضيات بما في ذلك التفكير أو الإثبات وفي البحث سنوفر الكثير من المعلومات حول الاستدلال والإثبات في الأوراق الرياضية وسنعرض لك الأنواع. من البراهين، وتبين كيف تلعب البراهين دورًا كبيرًا في الرياضيات لأنها إثبات الحالات التي تستخدم في العديد من التطبيقات في العلوم الرياضية وغيرها من المجالات.
مقدمة في البحث في التفكير والإثبات في الرياضيات د
في الرياضيات، نسمي كلمة برهان على أساس البديهيات، لأن البرهان مبني على بديهية معينة، ويمكن التعبير عن معنى البرهان بتعبير رياضي أو علاقة رياضية صحيحة منطقيًا لمجموعة من البديهيات.
أنظر أيضا: ما هي الأعداد الأولية والأعداد المركبة؟
تعريف البرهان والاستدلال في الرياضيات
- بناءً على ما سبق، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن البرهان الرياضي هو حجة نواجه بها تفسيرًا لظاهرة ما، أو أنه تفكير منطقي، وليس مجرد بيان تجريبي.
- ضمن هذا التعريف يمكننا القول أن أي بيان رياضي يمكننا تقديم دليل إذا كان صحيحًا.
- لا يمكنك إثبات صحة بيان كاذب، وفي جميع الظروف وفي جميع الأحوال، قبل أن يقال إن أي شيء صحيح في الرياضة، يجب أن تعرف ما الذي تثبت النظرية الرياضية وكيف تم التوصل إليه.
- بالنسبة إلى العبارة غير المثبتة، لا يمكننا القول أنها خاطئة إذا كانت من النوع الذي يحصل على بعض الدعم التجريبي، وهناك عبارات رياضية لها أبحاث تثبت صحتها بالتخمين.
الاستدلال والإثبات في الرياضيات للصف الأول الثانوي
- يبدأ الطلاب في استخدام الاستدلال الرياضي والإثبات في الصف الأول من المدرسة الإعدادية، لأن الرياضيات في المدرسة الثانوية تعتمد على الاستفسار والتفكير الشامل، وهذا بالطبع يتطلب التفكير والإثبات لما نصل إليه من خلال الاستفسار.
- وتجدر الإشارة إلى أن الرياضيات تشتمل على نوعين من البراهين، الأول هو البرهان الجبري، حيث يتم تمثيل المنطق وإيجاد برهان ظاهرة معينة في الجبر برموز مكتوبة وأشكال فقط بدون رسم.
- أما بالنسبة للدليل المنطقي والإثبات الهندسي، فهو يحتاج إلى الرسم ويتطلب رسم الزوايا وعمل الرسومات والتعبيرات على شكل أشكال مترابطة لتحقيق النتيجة المرجوة التي نثبتها.
ما هو الدليل الرياضي؟
الإثبات الرياضي في الرياضيات، البرهان هو إثبات، قائم على مجموعة من البديهيات، لبيان رياضي أو علاقة رياضية صحيحة منطقيًا في ظل هذه المجموعة من البديهيات.
إن الدليل الرياضي، إذا كان حجة أو تفكيرًا منطقيًا، ليس تجريبيًا.
ضمن هذا التعريف، يجب إثبات صحة الادعاء أو البيان الرياضي في جميع الظروف قبل اعتباره نظرية رياضية.
ما هي البديهيات في الرياضيات؟
- البديهيات هي افتراضات في الرياضيات للوصول إلى البراهين. تسمى البديهيات الضمنية ببديهيات ZFC، أي نظرية مجموعة Zermelo-Fraenkel، وهي نظرية مجموعة Zermelo-Fraenkel مع بديهيات الاختيار وهناك بدايات مختلفة.
- تستند نظرية مجموعة Zermelo-Frankel على حدس رياضي حول نظرية المجموعات، وفي نفس الوقت تعتمد نظرية المجموعات على بعض أساسيات الجبر والتحليل الرياضي، إذا كانت مسلمات جبرية.
- وعندما تريد إثبات شيء رياضي، فمن المناسب استخدام صياغة البديهيات، التي تخدم الحالة التي نتحدث عنها، وفي الجبر، يُطلق على العنصر الصحيح للحالة (المقدمة) اسم “s” كفرضية، و العنصر الأيسر يسمى الطلب.
- على سبيل المثال، تنص النظرية في كل متوازي أضلاع على أن كل قطرين يتقاطعان ويقسم كل منهما الآخر.في صيغة البرهان، نقول إنه إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع، فيجب أن ينقسم كل قطري إلى قسمين.
- يعمل الافتراض هنا ومن الواضح أن الشكل الرباعي متوازي الأضلاع والطلب هنا هو أن كل قطريها يفي بالقطر الآخر وهذا مطلوب لإثباته بالأدلة والإثبات والاستدلال.
- هناك العديد من طرق الإثبات الرياضي مثل البرهان المباشر، والبرهان العكسي، والبرهان بالتناقض، والبرهان بالاختيار، ومن بينها الإثبات بالاستقراء وغيرها الكثير.
أنظر أيضا: هل تعلم حقائق الرياضيات؟
دليل مباشر في الرياضيات
الدليل المباشر في الرياضيات هو أن علاقة الضرورة الخاصة تعد متعدية، لذلك يمكننا القول أنه إذا تطلبت (أ) ب وكانت (ب) تتطلب ج، فيجب على (أ) بالضرورة أن تتطلب (ج).
مثال على الدليل المباشر. إذا طُلب منك إثبات أنه إذا كانت x = 3 فإن 2 (4x + 5) – 1 = 33 فإن الدليل هو: x = 3 يعني 4 x = 12 يعني 4x + 5 = 17. ، يعني 2 (4x + 5) = 34، يعني 2 (4x + 5) – 1 = 33.
البرهان الرياضي في المنطق الرمزي
- الاستدلال الرمزي هو مجموعة من القواعد والأساليب المستخدمة للحكم على أن هناك استنتاجات معينة صحيحة، بحيث يكون لجميع الحقائق في التقارير المختلفة منطق رمزي.
- عندما يتم اختيار سلسلة من الأدلة، فإن المنطق هو الوسيلة التي يمكن من خلالها الوصول إلى خاتمة السلسلة من خلال ربطها ببعضها البعض، وبالتالي في المنطق الرمزي يعتمد على الشكل وليس على المحتوى.
- نستخدم في التقارير البراهين الرياضية التي لا تتعارض مع البداهة والحدس، لأن الاستنتاج صالح طالما أن هناك تسلسلًا يلبي جميع قواعد المنطق الرمزي.
- مثال على التفكير الرمزي. عندما نقول أن جميع الطلاب ممتازون وأن ماري طالبة، فإننا نستنتج أن ماري طالبة ممتازة.
أمثلة على البراهين الرياضية المختلفة
يعتمد الإثبات المباشر على البيانات، حيث يتم استخدام البيانات للوصول إلى النتيجة المرجوة، وتطبيق جميع قواعد الخصم، وكذلك التعويض والتعميم، حتى تثبت الحقيقة.
يعتمد الدليل الضمني على الوصول إلى تناقض مع الصحة، حيث نتعامل مع افتراض أو نظرية أو تقرير، ونفترض الخطأ ونطلب من أنفسنا إثباتًا ودليلًا للتقرير ذاته الذي يتطلب إثباتًا.
مثال على برهان رياضي
من بين التمارين التي أجريت على البرهان الرياضي ما يلي. أثبت أنه إذا كان 5- (x + 4) = 70، إذن x18، بناءً على البيانات التي نكتبها 5-. x + (-5) 4 = 70 خاصية توزيع، 5-x – 20 = 70 مع التبسيط.
5-س – 20 + 20 = 70 + 20، إضافة مساواة، لذا 5- = 90، تبسيط، س = -18، تبسيط.
أنواع البراهين الرياضية
- كما قلنا، هناك طرق إثبات وأيضًا هناك أنواع وهي البرهان الجبري لحل المعادلات والمتباينات، ويتم إجراء البرهان الجبري لإثبات العلاقة بين المقياسين.
- على سبيل المثال، عندما تكون هناك صيغة معينة F-32 C = 5/9 ونحتاج إلى الحصول على F = 9/5 C + 3.
- البراهين الجبرية هي مجموعات من الأرقام والخطوات التي تسمح لنا بإجراء العمليات لتحقيق ما نحتاج إلى إثباته.
- في البرهان الجبري، نستخدم خصائص الأعداد الحقيقية لإثبات شيء ما، بما في ذلك خاصية الإضافة للمساواة وإذا كانت a = b ثم a + c = b + c بالإضافة إلى خاصية الطرح للمساواة = if a = b ثم ac: = ق
- وهي تتضمن خاصية الضرب للمساواة = إذا كانت أ = ب، ثم ج = ب ج، بالإضافة إلى خاصية حاصل القسمة للمساواة = إذا كانت أ = ب وج ≠ 0، ثم أ / ج = ب / ج وفي البرهان الجبري: نستخدم خاصية انعكاس المساواة = أ = أ.
- والعديد من الخصائص الأخرى مثل خاصية التناظر للمساواة، والممتلكات المتجاوزة للمساواة، وممتلكات التعويض للمساواة والتوزيع الجبري حيث = أ (ب + ج) = أب + ج.
- يتعامل البرهان الهندسي مع الخطوط ومقاطع الخط ويثبت التوازي وقياسات أنواع الزوايا، وهناك أيضًا دليل إحداثي يتعامل مع المستوى وقوانين الهندسة التحليلية.
- من بين أشكال البراهين برهان ذو عمودين، برهان في عمود، تبرير في الثاني، برهان متسلسل في شكل خريطة وأسهم.
- يكون البرهان المجاني في شكل فقرة أو قطعة، والبرهان الهندسي المكون من عمودين هو نوع هندسي وطريقة ذات عمودين، ومثبات جبري به عمودين، وبرهان هندسي مجاني، وما إلى ذلك.
انظر أيضًا: 14 حقيقة حول أهمية إثبات قانون الجيب في الرياضيات
استنتاج حول البحث في الاستدلال والإثبات في الرياضيات، د
في نهاية الورقة حول الاستدلال والإثبات في ورقة الرياضيات تحدثنا عن تعريف البرهان والاستدلال في الرياضيات وتعلمنا أن البرهان الرياضي له العديد من الطرق حيث البرهان المباشر والإثبات العكسي والإثبات بالاختيار وما إلى ذلك ومدى أهمية الاستدلال والبراهين هي للأول ثانوي، وقد قدمنا أمثلة على العديد من البراهين الرياضية.