مقدمة لمصفوفات موقع القلعة دوت كوم يقدم لك المصفوفات التي تعتبر مشكلة صعبة لكثير من الطلاب، لكنها تعتبر من أسهل أشكال العمليات الجبرية إذا تم شرحها بطريقة بسيطة وسهلة.
ماذا تقصد بالمصفوفات؟
- يمكن تعريف المصفوفة على أنها ترتيب خاص للأرقام في الأعمدة والصفوف، وعادة ما تتم كتابة المصفوفة كمربع مربع أو مستطيل.
- تسمى الخطوط العمودية داخل المصفوفة بالأعمدة وتسمى الخطوط الأفقية بالصفوف.
- يمكن التعبير عن أبعاد المصفوفة بعدد الصفوف وعدد الأعمدة وأبعاد المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة. على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة تحتوي على صفين و 3 أعمدة، فسيتم التعبير عن أبعادها على أنها 2 × 3.
- كل شيء داخل المصفوفة يسمى عناصر المصفوفة، سواء كانت أرقامًا أو رموزًا أو تعبيرات جبرية، وإذا كان عدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة واحدة يساوي عدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة أخرى.
- وبالتالي، تعتبر هاتان المصفوفتان متساويتين في الأبعاد، ويمكن تسمية المصفوفة بأي حرف عربي، وبالنسبة للغة الإنجليزية يتم تمثيلها بأحد الأحرف الكبيرة.
- بمعنى آخر، يتم تمثيل محتوى المصفوفة بعناصرها من خلال كتابة رسالة.
- الذي يمثل اسم المصفوفة وتحت الحرف يكتب رقم كل صف وعمود من العنصر وهذا هو اسم المصفوفة.
ولا تفوت قراءة مقالتنا. مسح المصفوفات وتطبيقاتها
التطور التاريخي للمصفوفات
- وهي تمثل الطريقة الأولى لاستخدام المصفوفات في حل المعادلات باللغة الصينية وتسمى “تسعة فصول من الفن الرياضي”.
- كما يتضمن أيضًا مبدأً تعريفًا يمكن العثور عليه في قبل الميلاد. من 300 إلى م بين 200
- في عام 1683، نشر عالم الرياضيات الياباني سيكي تاكاكازو مقالًا عن المصفوفات.
- تبعه العالم الألماني جوتفريد لايبنيز، الذي نشر ورقة بحثية عن المصفوفات عام 1693، ونشر غابرييل كرامر لاحقًا قواعده الحسابية في عام 1750.
- ركزت نظرية المصفوفة المبكرة على دور المحدد بدلاً من استقلالية المصفوفة.
- لم تظهر فكرة المصفوفة من تلقاء نفسها حتى عام 1858 مع آرثر كايلي ونظريته المصفوفة.
- نظرية المصفوفة هي فرع من فروع الرياضيات تركز على دراسة المصفوفات والواقع.
- يعتبر فرعًا من فروع الجبر الخطي، لذلك فهو يغطي فعليًا الموضوعات المتعلقة بنظرية الرسم البياني والجبر والتوافقية والإحصاء.
- تمثل المصفوفة مجموعة مستطيلة من الأرقام و 1848.
- كما صاغ عالم الرياضيات الإنجليزي جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح المصفوفة كاسم لمجموعة من الأرقام المرتبة.
- في عام 1855، اقترح آرثر كايلي مصفوفة لتمثيل العناصر الخطية، وتعتبر هذه الفترة بداية لنظرية الجبر الخطي والمصفوفات.
- تعتبر دراسة الفراغات المتجهة في المجالات الخاصة فرعًا مفيدًا من الجبر الخطي في نظرية التشفير.
- مما يؤدي بطبيعة الحال إلى البحث عن المصفوفات واستخدامها في مجالات محددة من التشفير.
- الوحدة عبارة عن تعميم لمساحة متجه، لذلك فهي تعتبر مساحة من المتجهات على سلسلة.
- أدى هذا إلى البحث في حلقات المصفوفة، ونظرية المصفوفة ليست فرعًا من فروع الجبر الخطي في هذا المجال.
- إذا كانت الحلقة الموضحة ليست متبادلة.
- وتعتبر نظرية ونتائج نظرية كيلي هاميلتون مقبولة إذا كانت الحلقة المميزة عبارة عن حقل كامل بسيط.
- شكل سميث الطبيعي متوافق، لكن الباقي ينطبق فقط على مصفوفة من الأعداد المعقدة أو الحقيقية.
أنواع الكتلة
هناك عدة أنواع من المصفوفات.
- مصفوفة مربعة. عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة
- صفيف من الخطوط. مصفوفة تحتوي على صف واحد فقط
- مصفوفة العمود. هذه مصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط
- مصفوفة صفرية. هذه مصفوفة مكونة من أصفار فقط
- كمصفوفة قطرية. هذه مصفوفة مربعة يتم وضع عناصرها فقط على طول الخط القطري من الطرف الأيمن العلوي إلى الطرف الأيسر السفلي.
- أيضا مصفوفة قياسية. هي مصفوفة قطرية من عناصر متساوية قطريًا من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار
- مصفوفة مثلثية أعلى. هي مصفوفة مربعة حيث جميع العناصر على القطر وجميع العناصر الموجودة تحتها تساوي صفرًا.
- المصفوفة المثلثية السفلية. هي مصفوفة مربعة حيث جميع العناصر القطرية تساوي صفرًا.
- مصفوفة الوحدة. إنها مصفوفة قطرية ومربعة لها نفس عدد الصفوف والأعمدة ويمكن أن تتكون من أي عدد من الصفوف والأعمدة، أي يمكن أن يكون لها أبعاد 2 × 2، 3 × 3.
أو حتى 100 × 100، ويتكون القطر من رقم واحد فقط وهو حالة خاصة من المصفوفة.
لأن ضربها بأي قيمة مصفوفة أخرى يعطي نفس نتيجة المصفوفة الأخرى.
لا تتردد في زيارة مقالتنا: البحث عن المصفوفات وأنواعها
عمليات الجمع والطرح المصفوفة
- في العمليات الحسابية للمصفوفة، عند إضافة أو طرح مصفوفة، يجب أن تكون الجمع والطرح متساويين.
- بمعنى آخر، يجب أن يكون عدد الصفوف والأعمدة في كلا المصفوفتين متساويًا، وعلى سبيل المثال، إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة 3 صفوف و 5 أعمدة.
- يمكن إضافته إلى صفيف آخر فقط عندما يكون عدد الصفوف 3 صفوف وعدد الأعمدة 5 أعمدة.
- من ناحية أخرى، لا يمكن إضافته إلى مصفوفة أخرى، على سبيل المثال، عدد الصفوف هو 3 وعدد الأعمدة هو 4.
ضرب المصفوفة
هناك نوعان من ضرب المصفوفات.
- مضاعفة النقاط. اضرب الرقم في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
- ضرب المصفوفة. هذا هو النوع الثاني حيث يتم ضرب مصفوفتين معًا ويحدث فقط عندما يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية، هل يمكن ضرب مصفوفتين معًا؟
لذا فإن أبعاد المصفوفة الناتجة هي عدد صفوف المصفوفة الأولى × عدد أعمدة المصفوفة الثانية، وهناك عدد من الخطوات التي يجب اتباعها عند ضرب المصفوفة.
تأكد من أن عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
يتم ضرب كل عنصر في كل صف من الصف الأول من العنصر المقابل في كل عمود من المصفوفة الثانية على التوالي في المصفوفة الثانية ويتم جمع النتيجة.
محدد المصفوفة
- يتم استخدام محدد المصفوفة في العديد من التطبيقات، مثل حل المعادلات الخطية، وإيجاد معكوس المصفوفة، وتطبيقات أخرى في الرياضيات. محدد المصفوفة له مزايا عديدة.
- إنه رقم حقيقي إذا كانت المصفوفة مربعة، ولا يمكن إيجاد معكوس المصفوفة إلا إذا كانت الصيغة لا تساوي صفرًا.
- يتم استخدام معكوس المصفوفة لتمثيل محدد المصفوفة بنفس العلامة المستخدمة لتمثيل القيمة المطلقة.
- على سبيل المثال، محدد المصفوفة A هو | A |. وطريقة العثور عليه بأحجامه المختلفة، أي حسب عدد الصفوف والأعمدة، والشرح كالتالي.
- إذا كانت أبعاد المصفوفة 2 × 2، أي أنها مقسمة إلى صفين وعمودين، فيمكن العثور عليها من خلال تطبيق القواعد التالية: على اليسار x الحد الأدنى للقيمة على اليمين).
مصفوفة معكوسة
- يمكن تعريف معكوس المصفوفة على أنه المصفوفة وحاصل ضرب المصفوفة الأصلية هو مصفوفة الوحدة، أي مصفوفة بها جميع الأقطار نفسها.
- العناصر المتبقية تساوي الصفر، وتختلف طريقة إيجاد معكوس المصفوفة تبعًا لأبعادها.
اقرأ هنا: الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية
بهذا، عزيزي الطالب، نكون قد انتهينا من موضوع اليوم.
نأمل أن نكون قد تمكنا من تقديم شرح مبسط لموضوع المصفوفات وعمليات الجمع والطرح والضرب المرتبطة بها.
بالإضافة إلى التعرف على التطور التاريخي للمصفوفات، وأخيراً، التوفيق.