أصل الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة. يأخذك ماكال من خلال أصول الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة. تم تطوير الفكرة الأساسية للهندسة التحليلية في القرن السابع عشر من قبل عالمين فرنسيين. بيير دي فيرما ورينيه ديكارت ؛ لعبت الهندسة التحليلية دورًا رئيسيًا في مختلف فروع الرياضيات في ذلك الوقت.
أصل الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة
سنتعرف تدريجياً على أصل الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة من خلال الأسطر التالية، لذا اقرأ.
بعد تطوير الفكرة الأساسية للهندسة التحليلية في القرن السابع عشر من قبل بيير دي فيرمات ورينيه ديكارت، بعد اختراع فرانسوا فيت (تحديث الجبر والتدوين الجبري) وتوفير الإطار الأساسي لحساب التفاضل والتكامل لإسحاق نيوتن. وجوتفريد لايبنيز.
- تطورت العلاقة بين الهندسة والجبر عبر تاريخ الرياضيات، مع تقدم الهندسة في وقت مبكر.
- تمكن عالم الرياضيات اليوناني إقليدس من تنظيم العديد من النتائج الرائعة في كتابه الكلاسيكي Elements ؛ كان الجبر مجموعة أفكار أقل تنظيماً، تستند إلى مصادر بابلية ومصرية ويونانية وهندوسية، وتتعلق بمشاكل تتراوح من التجارة إلى الهندسة.
- قبل عصر النهضة، كان من الممكن استخدام الهندسة لتبرير الحلول للمسائل الجبرية، ولكن لم يكن يُعتقد أن الجبر سيلقي الضوء على الهندسة.
- سيتغير هذا الموقف مع اعتماد تدوين مناسب للعلاقات الجبرية وتطوير مفهوم الوظيفة الرياضية الذي يسمح بذلك.
اقرأ هنا عن الهندسة الكهربائية وهندسة الحاسبات
التدوين ومفهوم العمل
لتوضيح كل من أهمية التدوين ومفهوم الوظيفة، يمكننا النظر في إحدى المشكلات الكلاسيكية في الجبر: حل المعادلة التربيعية.
- المحور 2 + Bx + C = 0.
- من المفهوم هنا أن A و B و C تمثل الأرقام، و x تمثل الكمية غير المعروفة التي يجب إيجادها، و 2 الصغيرة التي تظهر في المصطلح الأول تعني أن المجهول x يجب أن يكون مربعًا أو مضروبًا في نفسه.
- على الرغم من أن حلول بعض أشكال هذه المعادلة كانت معروفة للبابليين القدماء، لم يتم تطوير التدوين بشكل كامل حتى عمل عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فيت، الذي وحد استخدام الحروف لتمثيل كل من الثوابت والمتغيرات.
- بالنظر إلى هذا الترميز، من السهل تصور المعادلة على أنها f (x) = 0.
- حيث تكون الوظيفة: f (x) = Ax2 + Bx + C.
- يمكن للمرء بعد ذلك التفكير في متغير ثانٍ، على سبيل المثال y، مُعرَّف بالدالة y = f (x) = Ax2 + Bx + C.
- إذن، لدينا علاقة بين متغيرين x و y يمكن دراستها بشكل مستقل.
الفكرة الأساسية وراء الهندسة التحليلية
الجزء الأول من أصل الهندسة التحليلية وعلاقته بمختلف فروع الرياضيات هو الفكرة الأساسية وراء الهندسة التحليلية، وهي أن العلاقة بين متغيرين، على سبيل المثال، أحدهما دالة للآخر، يحدد منحنى.
- يبدو أن هذه الفكرة قد تم تطويرها لأول مرة من قبل الفقيه والرياضيات الفرنسي بيير دي فيرمات.
- كما هو الحال في كتابه “مقدمة إلى المستويات والحالة الصلبة” الذي كتبه م. في عام 1629
- انتشر بين أصدقائه وقدم فكرة أن أي معادلة تربط بين مجهولين تحدد موضعًا أو منحنىًا.
- سمح فيرما للمتغير بتمثيل المسافة على طول خط مستقيم من نقطة مرجعية ؛ ثم يوضح المتغير الثاني المسافة من الخط ؛ واصل فيرما اشتقاق معادلات لعدد من المنحنيات البسيطة، بما في ذلك الخط المستقيم والقطع الناقص والقطع الزائد والدائرة.
- نظرًا لأن فيرمات لم يفكر في المسافات السالبة، لم يستطع إظهار منحنيات مثالية، لكن علماء الرياضيات الآخرين سيتغلبون على هذه المشكلة قريبًا.
الطريقة الجبرية للهندسة التي اكتشفها رينيه ديكارت
اكتشف الفيلسوف الفرنسي رينيه أيضًا نهجًا جبريًا للهندسة كان على ما يبدو مستقلاً إلى حد كبير. كان ديكارت أحد الشخصيات الفكرية المهيمنة في القرن السابع عشر، اشتهر بالفيلسوف، ومؤلف العديد من النظريات الفيزيائية المهمة، ومساهمًا رئيسيًا في الرياضيات.
- يظهر عمل ديكارت في الهندسة كواحد من ثلاثة ملاحق لخطابه الشهير حول العملية الصحيحة للعقل وإدراك الحقيقة في العلوم ؛ تتناول الإضافتان الأخريان علم البصريات والأرصاد الجوية.
- كما يوحي العنوان، رأى ديكارت الرياضيات في المقام الأول كوسيلة للتحقق من المعرفة في العلوم.
- في ملحقه حول الهندسة، بدأ ديكارت بالإشارة إلى أن البوصلة وبناءات الحافة المستقيمة للهندسة تشمل الجمع والطرح والضرب والقسمة وأخذ الجذور التربيعية.
- اقترح تعيين حرف لتمثيل طول كل سطر من الخطوط التي تظهر في البناء، ثم كتابة المعادلات المتعلقة بأطوال الخطوط، والحصول على العديد من المعادلات كما كانت هناك خطوط غير معروفة ؛ يصبح إيجاد الأطوال المجهولة مشكلة في حل مجموعة المعادلات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة.
- بعد إظهار قابلية تطبيق الجبر على حل المشكلات الهندسية التقليدية، يناقش ديكارت حل المشكلات التي يكون حلها منحنيات ؛ في هذا النوع من المسائل، لا توجد معادلات كافية لتحديد جميع المجهول، وينتهي أحدها بعلاقة بين المجهولين.
- عند هذه النقطة، اقترح ديكارت استخدام طول خط بعيدًا عن نقطة ثابتة لتمثيل x، والمسافة من x على خط مرسوم في اتجاه ثابت لتمثيل y.
- إذا تم تحديد الاتجاه المستطيل في السطر الأول، فإننا نحصل على النظام الحديث للإحداثيات المستطيلة أو الديكارتية، والذي يسمى ديكارت.
- اقترح ديكارت بعد ذلك أن أي معادلة لها قوى x و y تصف منحنى هندسيًا مقبولاً.
- أظهر أن تلك المنحنيات الخاصة المعروفة بالمقاطع المخروطية – الدائرة والقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ – موصوفة بمعادلات جبرية ذات قوتها القصوى x أو y يساوي اثنين.
كما أدعوكم للتعرف على أنواع الهندسة ومجالاتها
جدل بين فيرما وديكارت في الهندسة التحليلية فيما يتعلق بالفيزياء وعلم الفلك
اكتسبت دراسة هذه المنحنيات (المقاطع المخروطية) أهمية كبيرة نتيجة للاكتشافات في الفيزياء وعلم الفلك.
خاصةً اكتشاف العالم الألماني يوهانس كبلر أن الكواكب لا تتحرك في دوائر كاملة أو مجموعات من الدوائر الكاملة.
ولكن في شكل قطع ناقص.
- علاوة على ذلك، أوضح كبلر أن الكواكب لا تتحرك بسرعة ثابتة، ولكن بسرعة تختلف باختلاف المسافة بينها وبين الشمس.
- توفر الهندسة التحليلية وصفًا مفيدًا لشكل هذه المدارات. وسيتبع قريبا توضيح للحركة الفعلية.
- عندها اقترح إسحاق نيوتن قوانين الحركة والجاذبية الشاملة وطور تقنيات حسابية لتطبيقها.
- يتم التعبير بسهولة عن مشكلتين رئيسيتين في حساب التفاضل والتكامل من حيث الهندسة التحليلية.
- أولاً، أوجد خط المماس للمنحنى الموصوف بواسطة y = f (x) عند أي نقطة.
- والثاني هو إيجاد المنطقة الواقعة بين مقطع المنحنى والخط y = 0 ؛ حل هذه المشاكل يؤدي مباشرة إلى حل.
- من الاثنين الآخرين، أوجد قيم x التي من أجلها y = f (x).
- هي الحد الأدنى أو الأقصى، وإيجاد طول مقطع المنحنى.
- حل فيرما مشكلة الظل ومشكلة إيجاد الحدود القصوى والصغرى بحلول عام 1629.
- عندما ظهرت هندسة ديكارت في عام 1637، انتقدها فيرمات لعدم تضمينها مناقشة الظلال أو الحدود القصوى والدنيا.
- أجاب ديكارت أن هذه النتائج يمكن الحصول عليها بسهولة من قبل أي شخص يفهم عمله.
- وأن عمل فيرما أظهر فهمًا للهندسة أقل من فهمه للهندسة.
- سيختفي الخلاف حول أهمية وأولوية مساهمات فيرما وديكارت في النهاية، وسيتعرف كل رجل على مساهمات الآخر.
الجدل بين نيوتن وجوتفريد فيلهلم لايبنيز حول حساب التفاضل والتكامل في الهندسة التحليلية
سيتم تنفيذ التطوير الكامل لحساب التفاضل والتكامل من قبل نيوتن والعالم الألماني جوتفريد فيلهلم ليبنيز، اللذين يعملان بشكل مستقل عن بعضهما البعض ؛
- كما هو الحال مع فيرمات وديكارت، نشأ الخلاف حول الأولوية، ولكن في هذه الحالة نزاع أكثر مرارة وطويلة الأمد.
- في عام 1696، نشر عالم الرياضيات السويسري يوهان برنولي مشكلة حساب التفاضل والتكامل كتحدي لعلماء الرياضيات الآخرين.
- المشكلة، المعروفة باسم الوقت الأقصر، هي العثور على المنحنى الذي تنتقل خلاله حبة منزلقة من نقطة إلى أخرى في أقل قدر من الوقت، مع الجاذبية باعتبارها القوة الخارجية الوحيدة.
- الإجابة هي نسخة مقلوبة من سيكلويد، وهو المنحنى الناتج عن نقطة على محيط عجلة تدور على سطح مستو.
- في عام 1697، تمكن برنولي من نشر حلوله الخاصة جنبًا إلى جنب مع حلول أربعة علماء رياضيات آخرين، بما في ذلك نيوتن ولايبنيز.
- تم تقديم حل نيوتن دون الكشف عن هويته، لكنه لم يخدع برنولي، الذي قال: “أنا أعرف أسد من مخلبه”.
الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة
الجزء الثاني من ظهور الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة هو علاقة هذا العلم بفروع الرياضيات الأخرى، وهي:
- تمثل الهندسة التحليلية ارتباطًا بتقليد مهم في الرياضيات، تقليد الهندسة، مثل دراسة الشكل أو التصميم.
- والحساب والجبر، ويتعاملان مع الكمية أو العدد.
- كان هذا المزيج ضروريًا إذا أريد للعلوم الفيزيائية أن تتقدم إلى ما بعد المفاهيم الأرسطية للحركة.
من أجل فلسفة طبيعية كاملة وغير مكتملة تقوم على الملاحظة والخبرة. - لذلك، ليس من المستغرب أن كلا من فيرما وديكارت كانا معنيين بالمشكلات العلمية في عصرهما.
- خاصة فيما يتعلق بالبصريات.
- وديكارت بشكل عام، مع كافة مجالات الفيزياء وعلم الفلك.
- أصبحت تقنيات التفاضل والتكامل المبنية على رؤى من الهندسة التحليلية الرياضيات الأساسية للعلوم الفيزيائية والهندسة.
- مع إضافة المعادلات التفاضلية، والتي تمثل تطورًا إضافيًا للأفكار الأساسية لحساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية،
لقد أثبت الإطار الرياضي أنه قوي بما يكفي لدمج المجالات الجديدة للفيزياء الحرارية والكهرومغناطيسية.
في القرن التاسع عشر ونظرية الكم في القرن العشرين. - وبالتالي، فإن المناهج الجامعية الحديثة للعلماء والمهندسين المستقبليين تتضمن دائمًا عدة فصول دراسية مخصصة للهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل.
ولا تفوت قراءة مقالنا عن موضوع الهندسة المكانية في الرياضيات
ظهور الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة في نهاية هذا المقال قدمنا لكم التدرج لظهور الهندسة التحليلية ودور العلماء والفرق بينهم وكذلك علاقتها بالآخرين فروع الرياضيات نأمل أن يكون المقال مفيدًا لك وقد أعجبك.