دراسة موجزة عن الضرب الداخلي في دراسة موجزة عن الضرب الداخلي، سنتحدث عن تعريف مفهوم الضرب الداخلي، والتعرف على أمثلته، لأن الضرب الداخلي من الموضوعات التي يتعلمها الطلاب في الرياضيات في المرحلة الثانوية. ستكون الدرجات وبحثها بسيطًا وموجزًا وشاملًا في نفس الوقت لجميع مفاهيم الضرب الداخلي والمفاهيم الرياضية ذات الصلة.
مقدمة لمسح موجز عن الضرب الداخلي
الضرب الداخلي هو أحد أهم العمليات في الرياضيات، ويتم تنفيذ هذه العملية على المتجهات: إيجاد الزاوية بين متجهين أو قيمة مادية ما.
انظر أيضًا: 14 حقيقة حول أهمية إثبات قانون الجيب في الرياضيات
حدد الضرب الداخلي
- الضرب الداخلي هو ضرب المتجهات من قبل البعض، لأن هذه العملية تقوم على استخراج عدة أشياء وتستخدم في بيان الشغل والتدفق المغناطيسي والقوة.
- ويتم الضرب الداخلي بين الاتجاهات ويتم بشكل أساسي لضرب متجهين، وهناك بعض الخصائص التي تميزه عن الضرب العادي.
- الضرب الداخلي له أسماء أخرى مثل الضرب التبادلي لأنه ضرب متجهين أو الضرب العرضي أو المنتج المتجه لأنه عملية ثنائية بين متجهين في مساحة ثلاثية الأبعاد.
- نتيجة ضرب متجهين هي متجه عمودي على المستوى الذي تنتمي إليه المتجهات، على عكس الضرب القياسي الذي يعطينا كمية قياسية.
- يعد ضرب متجهين أدنى من ضرب رقمين لأن المتجهات ليست أرقامًا عادية، بل لها خصائص مشتركة تميزها، والتي نلاحظها أدناه.
ملاحظات على النواقل
هناك عدة ملاحظات مهمة حول المتجهات نحتاج إلى معرفتها لتسهيل عملية الضرب الداخلي، ويتم شرحها في ما يلي:
- المتجه هو مجموعة من الأرقام في شكل رأسي وأفقي، وأي متجه يمكن أن يكون أي عدد من الاتجاهات، والمتجه عادة ما يكون ثلاثة اتجاهات.
- وجميع المتجهات متساوية إذا كان لها نفس المقدار.
- المتجه الذي طوله وحدة واحدة يسمى متجه الوحدة.
- المتجه الذي قيمته صفر هو متجه تتكون أبعاده وقيمه كلها من (0،0،0).
- تُعرف المتجهات التي لها نفس القيمة ولكنها في اتجاهين متعاكسين بالمتجهات السالبة.
- تُعرف المتجهات التي تقع معًا في نفس الاتجاه ولكنها قد تختلف أو تساوي بعضها البعض في الكمية التي تحملها باسم المتجهات المتوازية.
- المتجهات التي تقع في نفس المستوى أو موازية لنفس المستوى تسمى متجهات متحدة المستوى.
معلومات عن الضرب الداخلي
يحدث المنتج الداخلي بين متجهين في المستوى الإحداثي، حيث يكون الناتج الداخلي لمتجهين هو ضرب إسقاط أحد المتجهين على الآخر بواسطة معلمة المتجه الآخر.
فضاء متجه حقيقي يجتمع مع الضرب الداخلي، لذلك يطلق عليه مساحة الضرب الداخلية الحقيقية.
أنظر أيضا: ما هي الأعداد الأولية والأعداد المركبة؟
خصائص الضرب الداخلي
- هناك العديد من الخصائص الجبرية التي تنطبق على عمليات الضرب الشائعة التي تنطبق على عمليات الضرب الداخلية، وتحدث هذه الخصائص في جميع عمليات الضرب، حيث تكون خاصية مقلوبة للعدد الحقيقي، وخاصية توزيع، وخاصية مضاعفة.
- هناك أيضًا بعض الخصائص التي تنطبق فقط على الضرب الداخلي، على سبيل المثال، خاصية الضرب الداخلي عندما نضرب متجهًا في اتجاه آخر هي صفر، وإحدى الخصائص الفريدة لمضاعفة المتجهات هي وجود علاقة ؛ طول المتجه والضرب الداخلي.
- أيضًا، يمكن كتابة المتجه كمجموعة خطية من متجهي وحدة معياريين، ويمكن كتابة المتجه كمزيج خطي لمتجه الوحدة القياسي.
- يمكن أيضًا كتابتها كمجموعة، حيث يتم ضرب متجه الوحدة القياسي بمكون في اتجاه كل منها.
- هناك العديد من الفرضيات حول الكميات في شكل معادلات خطية من قبل العلماء.
مفهوم دراسة الضرب الداخلي
- كما ذكرنا سابقًا أن درس الضرب الداخلي مخصص لطلاب المدارس الثانوية ويتم تدريسه أحيانًا في المرحلة الإعدادية، يشرح الدرس عملية مهمة جدًا تحدث عند دراسة النواقل.
- حيث بعد معرفة الاتجاهات وخصائصها نتعرف على العمليات عليها، وأبرز هذه العمليات هو عملية الضرب الداخلي.
- تتميز عملية الضرب الداخلي بالعديد من التطبيقات الخاصة التي يمكن إجراؤها عليها، مثل معرفة طول المتجه أو معرفة الزاوية بين متجهين أو العثور على موقع متجه في اتجاه متجه آخر. .
حدد الناتج الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي
الناتج الداخلي لمستوى الإحداثيات هو مجموع نواتج المركبات في الاتجاه الأفقي، وهو ناتج المركبات في الاتجاه الرأسي.
ويمكننا القول إن الناتج الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي يمثل إسقاط أحدهما على الآخر بنفس معامل المتجه الآخر.
ناقلات عمودية
- أحد أهم تطبيقات عملية الضرب الداخلي هو التحقق مما إذا كان المتجهان متعامدين أم لا، لأن نتيجة الضرب الداخلي للمتجهين هي إذا كانا متجهين صفريين.
- وإذا كان الناتج الداخلي لبعضها يساوي صفرًا، فهذا يعني أن المتجهات متعامدة.
- ولكن إذا تم الضرب الداخلي لمتجهين وإذا كانت النتيجة لا تساوي الصفر، فهذا يعني أن المتجهين ليسا متعامدين.
تطبيق الزاوية بين المتجهين
من خلال تطبيق الضرب الداخلي على متجهين، من الممكن إيجاد الزاوية الموجودة بين المتجهين، لأن ضرب متجهين داخليًا بمعيار كل منهما وإيجاد أن حاصل الضرب يساوي جيب التمام، نعرف: الزاوية بينهما.
وفي الوقت نفسه، يتم إيجاد الزاوية باتباع قواعد حساب المثلثات بعد الضرب الداخلي، ومن خلالها يتم إيجاد حجم الزاوية التي يجب معرفة حجمها.
التطبيقات الفيزيائية للضرب الداخلي
الضرب الداخلي ليس فقط في التطبيقات الرياضية السابقة، فهناك العديد من التطبيقات الفيزيائية للضرب الداخلي، وهناك العديد من التطبيقات الهندسية المفيدة التي تستخدم الضرب الداخلي لتحقيقها.
من بين هذه التطبيقات العمل، الذي يساوي الناتج الداخلي لكل من متجهات القوة والإزاحة، أو التدفق المغناطيسي، والذي يساوي ناتج المنتج الداخلي بين كل مجال مغناطيسي والسطح.
تطبيق الزوايا والعمودية على مساحة الضرب الداخلية
- غالبًا ما تُستخدم الزاوية بين متجهين في مساحة المنتج الداخلية لاشتقاق بعض العلاقات الأساسية بين المتجهات في مساحة الضرب الداخلية، مثل العلاقة بين الفراغ الفارغ ومساحة الشريط في أي مصفوفة.
- على سبيل المثال، إذا كانت U هي فضاء فرعي لمساحة مضاعفة داخلية V، وإذا كان المتجه v في V، فيُقال إنه عمودي على U إذا كان متعامدًا مع أي متجه في U.
- وبالتالي، يُقال إن مجموع المتجه لـ V عموديًا على U هو مكمل الفضاء الجزئي الرأسي لـ U.
أنظر أيضا: كيف تحسب النسبة المئوية بين رقمين في الزيادات؟
استنتاج حول مسح موجز للضرب الداخلي
في نهاية استطلاع موجز عن الضرب الداخلي، قدمنا تعريف الضرب الداخلي وخصائصه، وتعرّفنا على تطبيقاته العديدة، مثل استخدام الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي، وتعرّفنا على: بعض التطبيقات الفيزيائية للضرب الداخلي والمتجهات المتعامدة والزاوية بين اتجاهين ضمن عمليات الضرب الداخلي.