ما هي الاعداد النسبية في الرياضيات؟

ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات؟ عندما ولدت الأعداد والأعداء، كان علم الرياضيات كذلك. سعى العلماء لدراسته لمساعدتهم في الهندسة وعلم الفلك والعلوم الأخرى. أحد الأرقام الأولى التي اكتشفها العلماء. الأعداد النسبية، فما هي الأعداد النسبية في الرياضيات؟

صناعة

الأرقام والأرقام هي لغة الرياضيات لأنها تستخدم للتعبير عن الكميات، وهي أساس الرياضيات، حيث يتم تنفيذ العمليات الحسابية كل يوم، مثل عد الأيام أو الأشهر أو السنوات.
في كل ثقافة ولغة هناك اختلافات في شكل ونطق وكتابة الأرقام، كما تختلف كل لغة عن اللغات الأخرى حسب الثقافة، لذلك توجد أرقام عربية وأرقام هندية.
تجدر الإشارة إلى الفرق بين الأرقام والأرقام، وهو أن الأرقام هي رموز رياضية، لكن الأرقام هي أسماء أو صفات تصف مقدار الأشياء أو ترتيبها.
ساهم دور العلماء في اكتشاف الأعداد وتطورها بشكل كبير، وخاصة العالم المسلم الخوارزمي الذي اكتشف الصفر الذي يمكن للإنسان أن يعد به إلى ما لا نهاية.
قسّم العلماء الأرقام إلى مجموعات بناءً على خصائصها، بما في ذلك مجموعة الأعداد المنطقية ومجموعة الأعداد غير المنطقية ومجموعة الأعداد الكاملة والطبيعية والحقيقية.

ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات؟

يمكننا تعريف الأعداد المنطقية كأرقام يمكننا كتابتها كرقم أ / ب، أي يمكن كتابتها كبسط ومقام، بشرط ألا يكون المقام مساويًا للصفر، لأنه إذا كان يساوي صفرًا، قيمة الكسر ستكون غير معرفة.
تأتي نسبة الكلمات من النسبة، مما يعني مقارنة رقمين في البسط والمقام لقسمة العدد الصحيح على عدد صحيح.
وبالتالي، يسهل علينا تحديد مجموعة الأعداد الصحيحة من مجموعات مختلفة من الأرقام، حتى لو كانت هناك إمكانية للاختلاط بين مجموعات من الأرقام المختلفة.
مثل الرقم +7، فهو رقم ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، لأنه عدد صحيح وموجب، ولكنه ينتمي أيضًا إلى مجموعة الأعداد المنطقية، لأنه يساوي +7/1، أي. مقامه 1.
لذلك، فإن جميع الأعداد المنطقية هي أعداد موجبة وسالبة، وأعداد صحيحة حتى الصفر، ويمكن كتابتها جميعًا في صورة كسور.
عند كتابة عدد نسبي، نضع علامة السالب أمام الكسر أو بجانب رقم البسط، على سبيل المثال، الرقم 3/4 له شكله السالب أو تم عكس جمعه: -3-4 و 3- . 4 خطأ.
نظرًا لأن هذه هي الطريقة القياسية لكتابة كسر سالب، فيمكننا كتابة الكسور العشرية في صورة بسط والمقام في صورة أعداد نسبية.
على سبيل المثال، الرقم 0.65، يمكننا كتابته بشكل نسبي، أي 100/65، مضاعفات المقام 10، وفقًا لعدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية.
يمكن أيضًا كتابة الأعداد العشرية المكررة كأرقام منطقية، على سبيل المثال يمكن كتابة 0.44444 على أنها 1/4، لذلك من السهل التعامل مع الأرقام.

أمثلة على الأعداد المنطقية

جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية لأنها تتكون من بسط يساوي عددًا ومقامًا يساوي دائمًا واحدًا، لذا فهو غير مكتوب، وسنشرح ذلك في هذه الأمثلة.

الرقم 2 هو رقم نسبي يمكن كتابته في صورة 5/1 ولا تتغير قيمته.
الرقم -15 هو رقم نسبي لأنه يمكن كتابته كبسط ومقام، وهو -1/1، لكن لا يمكن كتابته كـ -12/0، لأن الرقم المنطقي لا يعترف بأن المقام يساوي صفرًا.

الكسور والأعداد الكسرية

جميع الكسور التي يمكن كتابتها كبسط ومقام أ / ب هي أعداد نسبية إذا كان كل من أ وب عدد صحيح ومقام ب لا يساوي صفرًا.
وهي أيضًا أرقام منطقية تحقق الشروط التي تعتبر أيضًا أعدادًا منطقية نظرًا لأن البسط والمقام عبارة عن أعداد صحيحة والمقام لا يساوي صفرًا.

أمثلة على الكسور والأرقام المنطقية

العدد الكسري 33/6 هو رقم نسبي لأن العددين -33 و 6 عددان صحيحان، والمقام 33 لا يساوي صفرًا.
العدد الكسري 8/24 هو عدد نسبي لأن بسطه ومقامه أعداد صحيحة ومقامه لا يساوي صفرًا.
لكن تجدر الإشارة إلى أن بعض الكسور والأرقام المختلطة ليست أعدادًا منطقية، على سبيل المثال الرقم 122 والصفر، على الرغم من أن كلاهما عدد صحيح، لكن 122/0 ليس عددًا نسبيًا لأن المقام يساوي صفرًا، لذا فإن الرقم القيمة غير معروفة.
الكسر 3 / π ليس عددًا نسبيًا، على الرغم من أن المقام عدد صحيح، لكن π لا يمكن اعتباره عددًا نسبيًا.

الكسور العشرية

إذا كانت الكسور دورية أو محدودة، فيمكن اعتبارها أعدادًا منطقية لأنه يمكن كتابتها كبسط ومقام أ / ب، كما في الأمثلة التالية.

يمكن التعبير عن الرقم 1.9 بالرقم 1.9 / 1، لذلك فهو رقم نسبي، وإذا ضربنا البسط والمقام في 10، فسنحصل على الرقم 18/10، وهو أيضًا رقم نسبي للأسباب التالية: العدد 19 والعدد 10 عددان صحيحان، والعدد 10 لا يساوي صفرًا في المقام.
الكسر العشري المتكرر … 2.222 يمكننا كتابته في صورة عدد كسري يساوي 1/2، وهو رقم نسبي، ويمكن ضرب المقام والبسط في 20 ويساوي 10/20، وهو عدد نسبي، لأن البسط والمقام عددان صحيحان، والمقام يساوي 20، ولا يساوي صفرًا.

أمثلة على الأعداد غير المنطقية

هذه الأمثلة هي بعض من أكثر الأرقام غير المنطقية شيوعًا

الرقم النيبري هو e، لأن الرقم النيبري هو كسر عشري، لكنه ليس نهائيًا، وتمثل هذه الأرقام منازلها العشرية الأولى، وهي 2.718281828459045235360287471352.
الرقم pi، لأنه كسر عشري، ليس منتهيًا، وهذه هي الأرقام حتى المنازل العشرية الأولى: 3.1415926535897932384626433832795.
بعض الجذور التربيعية والجذور التكعيبية حيث تكون بعض الكسور من الجذور عبارة عن كسور عشرية لا نهائية، مثل الجذر التربيعي لـ 3 الذي يساوي… .1.7320508075688772935274463415059.
أو الجذر التربيعي لـ 99 والذي يساوي… .9.9498743710661995473447982100121.
ومع ذلك، ليست كل الجذور التربيعية والتكعيبية أعدادًا غير منطقية، ويمكن تفسير ذلك بمثال الجذر التربيعي لـ 16، والذي يساوي 4 وهو عدد نسبي.
أو عند ضرب جذري عددين غير نسبيين، على سبيل المثال، فإن ضرب جذر 3 في 3 يعطي 3، وهو عدد نسبي.

العمليات الحسابية على الأعداد النسبية

الرقم المنطقي، مثل أي رقم، هو رقم يمكنه إجراء عمليات حسابية على نفسه، مثل الضرب والقسمة والجمع والطرح.

مقدار: يمكن جمع الأعداد الكبيرة معًا، ولكن بشرط واحد، وهو أن المقامات متساوية، فيتم إضافة البسط إلى البسط، مع تحديد قيمة المقام.
الطرح: يمكننا إجراء عملية الطرح بنفس طريقة الجمع لأنه لا يمكن طرح عددين يتم طرحهما من بعضهما البعض إلا إذا كانت مقاماتهما متساوية، لذلك نطرح البسطين ونطرحهما. مذيع
عمليه الضرب. نجري عملية الضرب بضرب البسط في البسط والمقام في المقام، ووضع حاصل ضرب البسط في بسط حاصل الضرب وحاصل ضرب المقام في بسط المقام.
قسم. في عملية القسمة، يجب أن نصلح الكسر الأول كما هو، ونقلب الكسر الثاني بحيث يصبح المقام هو البسط، ويصبح البسط هو المقام، ونحول علامة القسمة إلى عملية ضرب. ونقوم بالضرب العادي بضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

خصائص الأعداد المنطقية

خصائص الأعداد المنطقية هي كما يلي.

عندما نضرب عددًا صحيحًا لا يساوي صفرًا في رقم منطقي، تظل قيمة الرقم المنطقي كما هي ولا تتغير قيمتها، لأن هذا الضرب هو فقط مضاعفة أرقام البسط والمقام في نفس النسبة على سبيل المثال، إذا ضربنا 2/4 في 2، فسنحصل على 4/8، وإذا قمنا بتبسيط أقرب صورة، نحصل على 2/4.
إذا قسمنا رقمًا منطقيًا إلى شكل ومقام عدد صحيح، بشرط ألا يكون مساويًا للصفر، فإن قيمة الرقم المنطقي لا تتغير، وهذا القسمة لا تؤثر على النتيجة، على سبيل المثال، قسمة 6 على z . / 30 في 3 نحصل على 3/16، وهو رقم نسبي، لكن صورته تم تبسيطها.
إذا طرحنا أو أضفنا رقمين منطقيين، فيجب أن تكون النتيجة عددًا نسبيًا ولا يمكن أن تكون غير ذلك.
إذا ضربنا أو أضفنا أي رقمين كسريين لهما نفس المقام، فيجب أن تكون النتيجة هي نفس المقام، ويجب أن يكون البسط هو الجمع أو الطرح.
إذا ضربنا رقمين منطقيين في المنتج، فإن حاصل ضرب المتوسطين هو حاصل ضرب المقام.
إذن، إذا كان لدينا جذر تربيعي، فستكون النتيجة دائمًا عددًا نسبيًا، والعدد الموجب موجود داخل الجذر.
يمكن أن يكون حاصل ضرب عددين غير نسبيين، مثل جذر، عددًا نسبيًا، مثل الجذور الثالثة والرابعة، وبالتالي ستكون النتيجة 12، وهو رقم نسبي.
يُطلق على الرقم المنطقي الشكل القياسي للرقم المنطقي إذا لم يكن من الممكن تقليله بشكل أكبر، أي أن العامل الوحيد بين البسط والمقام هو عدد صحيح.
لا يمكن أن تؤدي عملية إضافة أو طرح الأعداد غير المنطقية إلى أرقام منطقية، ما لم يكن الرقمان المنطقيان متساويين، ولكن بعلامة مختلفة، مما ينتج عنه رقم منطقي يساوي صفرًا، وتسمى نسبة هذين الرقمين نسبة ؛ معكوس الجمع.

الفرق بين الأعداد المنطقية والأرقام غير النسبية

رقم منطقي. يسمي أي رقم يمكن كتابته في صورة كسر من البسط والمقام، ويكون كلا الرقمين في البسط والمقام أعدادًا صحيحة والمقام لا يساوي صفرًا، بغض النظر عما إذا كان الرقم في العدد المنطقي سالبًا أم موجبًا ؛ مثل 3/4.
عدد غير نسبي. الرقم الذي لا يمكن كتابته ككسر عادي يسمى بسط ومقام عدد غير نسبي، مثل الجذر التربيعي للعدد 5، لأنه كسر عشري لا ينتهي برقم معين، بل يستمر إلى اللانهاية.

في نهاية رحلتنا حول ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات، قسم علماء الرياضيات الأرقام وفقًا لخصائصها، مما أدى إلى مجموعات مختلفة، بما في ذلك مجموعة الأرقام المنطقية.