كيفية حساب مساحة المخروط

المخروط شكل هندسي ثلاثي الأبعاد ذو قاعدة مسطحة دائرية وحافة تلتف حول القاعدة في حركة دائرية.

كما أن لها نهاية مدببة بحيث يمكن صنع المخروط بتدوير المثلث. تابع جميع التفاصيل في مقالتنا المميزة دائمًا على.

أنواع المخاريط

1- مخروط دائري قائم

إنه المخروط الذي يلتقي رأسه تمامًا بمركز القائمة، أي أنه عمودي عليه.
وتتكون أيضًا من قاعدة دائرية مركزها ومحور رأسي يربط بين مركز القاعدة وقمة المخروط.
يشكل المحور أيضًا زاوية قائمة لقاعدة المخروط، لذلك يسمى هذا النوع من المخروط المخروط الأيمن.

اقرأ أيضًا: موضوع تعبير فضاء معين

2- مخروط مائل

إنه مخروط لا تتطابق قمته مع مركز القاعدة، أي أن قمة المخروط لا تتعارض تمامًا مع قمة قاعدته.
يتكون هذا النوع أيضًا من قاعدة دائرية، وهي منحنية بحيث لا تشكل زاوية قائمة مع قاعدة المخروط.
- لذلك، يطلق عليه مخروط مائل.
وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن أيضًا استخدام قوانين حساب حجم المخروط الدائري الأيمن لحساب حجم المخروط المائل.

3-قطع مخروط

إنه النوع الناتج عن قطع الجزء العلوي الموازي للقاعدة، وبالتالي إزالة رأس المخروط.

ويتم التعبير عن هذا المخروط باستخدام الأبعاد التالية:

الارتفاع هو العمود المستقيم الذي يربط منتصف القاعدة العلوية (التي تتشكل بقطع رأس المخروط) بالقاعدة السفلية.
نصف القطر: عادة ما يكون نصف قطر القاعدة العلوي ونصف قطر القاعدة السفلي مختلفين.
ارتفاع مائل. أقصر مسافة ممكنة بين حواف القاعدة السفلية والقاعدة العلوية.

خصائص المخروط

لها وجه واحد وهو القاعدة المستديرة ورأس واحد.
لكن ليس لها زوايا أو حواف.
يمكن إيجاد عرض المخروط بحساب قطر القاعدة الدائرية.

المخروط له ثلاثة أحجام.

ارتفاع هو عمود يقع بين قمة المخروط ومركز قاعدته.
نصف قطر المخروط هو نصف القطر، وهو نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط.
الارتفاع المائل، وهو المسافة بين قمة المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة الدائرية للمخروط.

كيفية حساب مساحة سطح المخروط

لحساب مساحة المخروط، يجب أولاً ملاحظة بعض المفاهيم الضرورية وفهمها بالكامل.
الارتفاع هو العمود الذي يقف بين مركز القاعدة الدائرية والرأس المدبب للمخروط.
- بحيث تشكل الزاوية القائمة مع القاعدة الدائرية.
نصف القطر: المسافة من المركز ومحيط القاعدة الدائرية.
الارتفاع الجانبي أو المائل. إنها المسافة من أي نقطة على محيط القاعدة الدائرية إلى النهاية المدببة.
تُعرَّف مساحة المخروط بأنها عدد الوحدات المربعة التي تغطي الجزء الخارجي من المخروط.
عند حساب سطح أو حجم المخروط، تنطبق القوانين على المخروط العمودي بدلاً من المخروط المائل.
المخروط الأيمن هو الذي له قاعدة دائرية، والخط الذي يربط بين قمة المخروط ومركز القاعدة عمودي على القاعدة.
- يمكن إيجاد مساحة السطح الكلية للمخروط بإيجاد مجموع مساحة السطح الجانبية للمخروط ومساحة سطح القاعدة.
ومساحة القاعدة هي التي تمثل مساحة الدائرة، والقاعدة دائرية وتساوي (π × n2)، n هي نصف القطر.
المساحة الجانبية تساوي (π × نصف القطر × الطول القطري أو الارتفاع الجانبي).
يمكن حساب الارتفاع الجانبي أو الطول القطري للمخروط بالصيغة التالية:
- الارتفاع الجانبي للمخروط = (مربع الارتفاع + مربع نصف القطر).

مما سبق نستنتج أن المساحة الكلية للمخروط هي:

إجمالي مساحة سطح المخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
أيضًا مساحة السطح الإجمالية للمخروط = π × n × l + π × نق 2 وهي مكافئة
المساحة الكلية للمخروط = π × n2 + π × n × (ع 2+ نق 2) √.

بأخذ بينك كعامل مشترك، تصبح المعادلة:

المساحة الكلية للمخروط = π × n × (n + (ع + نق) √
بينما.
π ثابت عددي وقيمته العددية 22/7، 3.14.
Nq هو نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط.
أ هو ارتفاع المخروط.
L هو الطول القطري أو الارتفاع الجانبي للمخروط.

قد تكون مهتمًا أيضًا بـ: موضوع حول مساحة المربع

صيغة حساب مساحة القطع الناقص

ارتفاع الجانب (ل). إنها متساوية. l² = m² + (m1 – m2) ²، ومنها: l = (m² + (m1-m2) ²) √.

المساحة الجانبية للقطع الناقص = π × (n1 + n2) × l.

مساحة القطع الناقص = π × (l × (m1 + m2) + (m1) ² + (m2) ²).
حجم القطع الناقص = (1/3) × π × × (((نق 1) ² + (نق 2) ² + (نق 1 × نق 2)) ؛ أين:
- N1. نصف قطر القاعدة السفلية.
- N2. نصف قطر القاعدة العلوية.
L: منحدر أو ارتفاع جانبي من frustum.
π: ثابت pi، وهو ثابت عددي يساوي 3.14 أو 22/7.
- أ: ارتفاع Frustum.

أمثلة لحساب مساحة المخروط

المثال الأول

ما مساحة سطح مخروط ارتفاعه ٨ وحدات ونصف قطره ٦ وحدات؟
الحل: مساحة المخروط = π × n × (نق + (ع² + نق²) √)، ويمكن حسابها على النحو التالي: مساحة المخروط = ((8² + 6²) √ + 6) × × 6 .
إذن مساحة المخروط = π × 96 سم².

المثال الثاني

قطر قاعدتها العلوية مطروحًا منها المخروط 2 سم، وقطر قاعدتها السفلية 6 سم، وارتفاعها 10 سم، ما هي مساحتها الجانبية، ومساحة السطح الكلية، والحجم؟

المحلول. لإيجاد كل من المساحة الجانبية والمساحة الكلية، يجب عليك أولاً إيجاد الارتفاع الجانبي (l).
هذا على النحو التالي. احسب الارتفاع الجانبي كما يلي: l = (p² + (m1-m2)) ²√ = 10² + (6-2) ²√ = 10.77 سم.
المساحة الجانبية للقطع الناقص = π × (n1 + n2) × l.
- إذن، المساحة الجانبية للقطع الناقص = 3.14 × (6 + 2) × 10.77 = 270.69 سم².
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + × (م 1) ² + π × (م 2) ².
- إذن: المساحة الإجمالية = 270.69 + (3.14 × 6² + 3.14 × 2²) = 396.35 سم².
حجم المخروط = (1/3) × π × × (((نق 1) ² + (نق 2) ² + (نق × 2)).
- لذا فإن حجم المخروط = (1/3) × 3.14 × 10 × (6² + 2² + (6 × 2)) = 544 سم مكعب.

أيضا المثال الثالث

ما مساحة السطح الكلية لمخروط نصف قطره 6 أمتار وارتفاع جانبه 10 أمتار؟
الحل: مساحة المخروط = π × n² + π × نق × l.
يمكن حسابها على النحو التالي: مساحة المخروط = 3.14 × 6² + 3.14 × 6 × 10 = 301.44 متر مربع.

المثال الرابع

يبلغ قطر قاعدة المخروط الدائري 3√4 والزاوية بين الارتفاع والارتفاع الجانبي 30 درجة، فما هي مساحة السطح الإجمالية للمخروط؟
- المحلول. المساحة الكلية للمخروط = π × م × (ن + ل) ولحسابها نحتاج إلى قيمة نصف القطر والارتفاع الجانبي ويمكن حسابهما على النحو التالي:
احسب نصف القطر بقسمة القطر على 2 ؛ نصف القطر = القطر / 2 = 3√4 / 2 وهو 3√2 سم.
احسب ارتفاع الضلع، وهو وتر المثلث القائم الزاوية نصف قطره أحد ضلعه.
وارتفاع الضلع الأخرى وارتفاع ضلع الوتر وتطبيق قانون جيب الزاوية: sin (x) = المقابل / الوتر.
- اتضح أن: sin (30) = 3√2 / l، منها l = 3√4 سم.
عوّض بالقيم السابقة في القانون لإجمالي مساحة المخروط للحصول على المساحة الإجمالية للمخروط = π × n × (مربع + ل) = 3.14 × 3√2 × (3 2 + 3√4) = 113.04 سم².

وأخيرًا، المثال الخامس

إذا كان حجم مخروط دائري قائم هو 9856 سم 3 وقطر (أقطار) القاعدة 28 سم، فما ارتفاعه (ع) والارتفاع الجانبي (ل) والمساحة الجانبية؟
- الحل: حجم المخروط = (1/3) × π × m² × p، ومنه يمكن إيجاد الارتفاع.
- بما أن القطر = 28 سم، فإن نصف القطر (ن) = القطر / 2 = 14 سم.
التعويض في قانون الحجم، إذن: 9856 = (1/3) × 22/7 × ² 14 xp بما في ذلك الارتفاع = (9856 × 3 × 7) / (22 × 14 × 14).
بما في ذلك: الارتفاع = 48 سم. ارتفاع الجانب = (n² + h²) √ لذلك: l = 14² + 48² √ = 50 cm. المساحة الجانبية = π × n × L.
- مساحة الجانب = 22/7 × 14 × 50 = 2200 سم².

المثال السادس

نصف دائرة ورقية، قطرها 6.28 سم، إذا كنت تعلم أنها تحولت إلى مخروط قائم.
- احسب مساحة السطح الجانبية لهذا المخروط؟
المحلول. المنطقة الجانبية للمخروط الأيمن = مساحة المقطع الدائري. المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = (180 ÷ 360 درجة) × π × م².
المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = 1/2 x π x m².
كذلك المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = 2 / p².
بما أن nn = القطر ÷ 2، إذن n = 3.14، فنعوض نصف القطر في القانون.
- ويترتب على ذلك أن المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = 2 / (π × 3.14 × 3.14). المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = π9298 سم²، (الإجابة بدلالة π).
المساحة الجانبية للمخروط = 4.9298 × 3.14. المساحة الجانبية للمخروط = 15.4796 سم².

أنظر أيضا:

أخيرًا، تعرفنا على قوانين حساب مساحة سطح المخروط وبعض الأمثلة على كيفية استخدام هذه القوانين.

أيضًا، شاركنا في التعليقات للإجابة على أسئلتك واستفساراتك حول هذا الموضوع.