سطح ومحيط المكعب، يتكون المكعب من ستة أوجه، ومن خلال إيجاد مجموع أسطح تلك الوجوه، يمكننا حساب مساحة سطحه.
حدد مستطيلاً
- المكعب عبارة عن مادة صلبة لها ثلاثة أبعاد، أي أن للمكعب الطول والعرض والارتفاع، ويمكن تشبيهه بشكل الصندوق، وبشكل عام هو حالة خاصة للمنشور.
- يتكون المكعب من وجوه وحواف ورؤوس، ويحتوي المكعب على ستة أسطح مستطيلة تعرف بالوجوه.
- هذه الوجوه، التي تشكل المكعب، لها حواف ويمكن تسميتها بخطوط مستقيمة تربط كل من العمودين المتجاورين للمكعب.
- عندما تلتقي ثلاثة أحرف من مكعب، فإنها تشكل نقاطًا أو زوايا تُعرف بالرؤوس، وكلها مستقيمة.
خصائص المكعب
- يتميز المكعب بحقيقة أن كل ضلعين متقابلين من المكعب متوازيان ومتطابقان تمامًا، وأن للمكعب ستة أوجه.
- للمكعب ثمانية رؤوس واثنا عشر وجهًا، والمكعب يتميز بأوجه متقابلة متوازية.
- هناك حالة خاصة للمكعب وهي أنه إذا كان الطول والعرض والارتفاع مساوياً للطول، فإن المكعب يُعرف باسم المكعب.
صيغة سطح مكعب
- يمكننا حساب مساحة سطح المكعب باستخدام صيغة إجمالي مساحة سطح المكعب = 2 × (xxy + xxy + yxy)، حيث x هو رمز طول المكعب، و y لعرضه، و y لارتفاعه.
- يمكننا حساب المساحة الجانبية للمكعب، أي مجموع مساحات وجوه المكعب باستثناء القاعدتين، باستخدام صيغة المساحة الجانبية = 2 × (الطول + العرض) × الارتفاع.
- يمكننا القول أن مساحة السطح الكلية للمكعب = مساحته الجانبية + مساحة القواعد المكعبة.
تفاصيل حول أسطح المكعبات
- نعلم أن المكعب شكل هندسي له العديد من الوجوه، ولإيجاد مساحة سطح المكعب، علينا إيجاد مساحات الأضلاع الستة التي تحتوي عليها.
- بعبارات أبسط، يمكننا القول أن مساحة سطح المكعب = مساحة سطح الوجه الأول + مساحة الوجه الثاني + مساحة الوجه الثالث + مساحة الوجه الرابع + مساحة الوجه الخامس + منطقة الوجه السادس.
- لاحظنا أيضًا أن كل ضلعين متقابلين من المكعب متوازيان ومتطابقان، لذا يمكننا إيجاد المساحة بطريقة أخرى.
- مساحة سطح المكعب = 2 × مساحة السطح للوجه الأول + 2 × مساحة السطح للوجه الثاني + 2 × مساحة السطح للوجه الثالث + 2 × الطول × العرض + 2 × العرض × الارتفاع + 2 × الطول × الارتفاع. نعلم أن مساحة المستطيل = الطول × العرض.
- بمعنى آخر، مساحة المكعب = مساحة القواعد + مساحة الضلعين الأولين + مساحة القواعد + مساحة الضلع الأولين + المساحة من الجانبين الثاني.
أمثلة لحساب مساحة سطح المكعب
1- المثال الأول
المنشور المستطيل طول قاعدته 5 م وعرض قاعدته 2 م وارتفاعه 2.5 م. ما هي مساحة السطح الجانبية للمكعب؟
الحل
- سنستخدم معادلة مساحة السطح الإجمالية للمكعب = 2 × (الطول × العرض + الطول × الارتفاع + الارتفاع × العرض).
- أي المساحة الإجمالية للمكعب = 2 × (5 × 2 + 5 × 2.5 + 2 × 2.5) = 110 مترًا مربعًا.
2- المثال الثاني
صندوق مستطيل طول قاعدته 40 سم وعرض قاعدته 31 سم وارتفاعه 12 سم ما مساحة سطحه الإجمالية؟
الحل
- سنستخدم معادلة مساحة السطح الإجمالية للمكعب = 2 × (الطول × العرض + الطول × الارتفاع + الارتفاع × العرض).
- أي المساحة الإجمالية للمكعب = 2 × (40 × 31 + 40 × 12 + 31 × 12) = 4.184 مترًا مربعًا.
3- مثال آخر
طول قاعدة المنشور المستطيل 3 سم وعرض القاعدة 5 سم والارتفاع 4 سم ما هي مساحة سطحه الجانبية؟
الحل
- سنستخدم صيغة المساحة الجانبية للمكعب = 2 × (الطول + العرض) × الارتفاع.
- أي المساحة الجانبية للمكعب = 2 × (3 + 5) × 4.
حجم المنشور المستطيل
يعبر حجم المكعب عن مقدار المساحة الفارغة بداخله، ويمكننا حساب حجم المكعب باستخدام صيغة حجم المكعب = الطول × العرض × الارتفاع.
أمثلة على حجم المكعب
1- المثال الأول
المنشور المستطيل طول قاعدته 3 سم وعرض قاعدته 2 سم وارتفاعه نصف سنتيمتر ما هو حجم المكعب؟
الحل
- سنستخدم صيغة حجم المكعب لأن حجم المكعب = الطول × العرض × الارتفاع.
- أي أن حجم المكعب = 3 × 2 × 0.5 = 12 سنتيمترًا مكعبًا.
2- مثال آخر
طول قاعدة المنشور المستطيل 12 سم وعرض القاعدة 5 سم والارتفاع 2.4 سم ما هو حجم المكعب؟
الحل
- سنستخدم صيغة حجم المكعب لأن حجم المكعب = الطول × العرض × الارتفاع.
- أي أن حجم المكعب = 12 × 5 × 2.4 = 144 سنتيمترًا مكعبًا.
قطري المستطيل
- يحتوي المكعب على نوعين مختلفين من الأقطار: أقطار الوجه وأقطار المكعب.
- تربط أقطار الوجوه بين الزاويتين المتقابلتين لوجوه المكعب، وهما عبارة عن خطوط مستقيمة، والمكعب يحتوي على اثني عشر قطرًا، لأن كل وجه من متوازي الأضلاع له قطرين.
- يمكننا حساب طول قطري الوجه باستخدام طول قطر القاعدة = الجذر التربيعي لـ (مربع الطول + مربع العرض) وطول أقطار الضلعين الأولين = الجذر التربيعي لـ (مربع الطول + مربع الارتفاع).
- يمكننا حساب طول قطر وجوه الضلعين الآخرين باستخدام صيغة طول قطر الضلع الثاني = الجذر التربيعي لـ (مربع العرض + مربع الارتفاع).
أمثلة مختلفة للمكعبات
1- المثال الأول
حجم المكعب 792 متر مكعب ومساحة القاعدة 132 متر مربع. ما هو ارتفاع المكعب؟
الحل
- سنستخدم صيغة حجم المكعب = الطول × العرض × الارتفاع، وبما أن مساحة القاعدة = 132، فإن الطول × العرض = 132 مترًا مربعًا.
- عندما يتم تطبيق هذا على قانون الحجم التكعيبي، فإن الارتفاع = 792 ÷ 132 = 6 أمتار.
2- مثال آخر
يبلغ ارتفاع المنشور المستطيل 3 سم وعرض قاعدته 4 سم وطول قاعدته 5 سم، فما حجمه وما مساحة سطحه الإجمالية؟
الحل
- سنستخدم صيغة حجم المكعب = الطول × العرض × الارتفاع، وبالتالي فإن حجم المكعب = 5 × 4 × 3 = 60 سم مكعب.
- سنستخدم معادلة مساحة السطح الإجمالية للمكعب = 2 × (الطول × العرض + الطول × الارتفاع + الارتفاع × العرض).
3- مثال آخر
المنشور المستطيل يبلغ طوله 8 سم وعرضه 6 سم وحجمه 192 سم 3، فما ارتفاعه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية؟
الحل
- سنستخدم صيغة حجم المكعب لأن حجم المكعب = الطول × العرض × الارتفاع، ومن هنا نجد أن الارتفاع يساوي 4 سم.
- سنستخدم معادلة مساحة السطح الإجمالية للمكعب = 2 × (الطول × العرض + الطول × الارتفاع + الارتفاع × العرض)، وبالتالي فإن مساحة السطح الجانبية للمكعب هي 208 سنتيمترات مربعة.
- سنستخدم المساحة الجانبية للمكعب كمساحة جانبية للمكعب = 2 × (الطول + العرض) × الارتفاع.
محيط المكعب
- محيط المكعب هو المحيط المحيط بمربع متوازي أضلاع ومستطيل ودائرة ومثلث في بعدين.
- وبالتالي، لا يمكن أبدًا حساب محيط المكعب، ولكن يمكن استبداله بحساب المساحة الجانبية للمكعب كما هو محدد.
- محيط أي مضلع هو مجموع أضلاعه الخارجية، وبالتالي فإن محيط المكعب هو مساحة سطح أوجه المكعب.
في مقال: سطح ومحيط المكعب، ذكرنا تعريف المكعب وخصائصه وسطحه الجانبي وهو محيط المكعب وحجمه وجميع القوانين التي تساعدنا في حل جميع مشاكل المكعب.