يتم تعريف مجموع قياسات زوايا البنتاغون، المضلع في الهندسة الإقليدية على أنه أي شكل مغلق يتكون من خطوط مستقيمة متقاطعة، حيث تبدأ المضلعات من مثلث، مما يعني أن الحد الأدنى لعدد الأضلاع في المضلع هو ثلاثة.
الأخير غير معروف، ولكل مضلع عدد من الزوايا، وفي هذه المقالة سوف ندرس مجموع زوايا البنتاغون.
ما هو البنتاغون أو ما يسمى البنتاغون وما أنواعه؟
في الرياضيات الهندسية، يُعرّف البنتاغون بأنه أي مضلع يتكون من خمسة جوانب وخمس زوايا، بحيث يكون مجموع زوايا البنتاغون 540 درجة، وهناك نوعان من البنتاغون:
- خماسي منتظم. إنه شكل خماسي مع جميع الزوايا متساوية في الحجم.
- وجميع جوانبها متساوية في الطول، أي أن أيًا من زواياه تساوي 108 درجات.
- مجموع زواياه 540 درجة.
- البنتاغون غير المنتظم. هو أي خماسي يبلغ مجموع زاويته 540 درجة، لكن أحجام الزوايا مختلفة، وأضلاعه ليست متساوية في الطول.
أنظر أيضا: استخدام الرياضيات لقياس التلوث
مجموع قياسات زوايا البنتاغون
لمعرفة مجموع زوايا البنتاغون سنذكر المعادلة العامة التي نحسب بواسطتها مجموع زوايا أي مضلع هندسي وهي المعادلة التالية:
(ن – 2) × 180، حيث n هو عدد أضلاع المضلع والنتيجة هي درجة واحدة، لذلك إذا كان الشكل خماسيًا، فسيكون عدد أضلاعه خمسة، ولذا فإننا نعوض بقيمة n. مع خمسة.
ثم نحصل على 540 درجة، مما يعني أن مجموع زوايا الشكل الخماسي يساوي خمسمائة وأربعين درجة.
قياس الزاوية الداخلية في الخماسي المنتظم
لمعرفة حجم الزاوية الداخلية للخماسي المنتظم، علينا التحدث عن خصائصه.
- كل مضلع مغلق يتكون من خمسة خطوط متقاطعة وخمس زوايا وخمسة رؤوس.
- البنتاغون العادي له خمسة أضلاع متساوية الطول وخمس زوايا متساوية الحجم.
- يمكن تقسيم الخماسي العادي إلى ثلاثة مثلثات.
- لأن مجموع زوايا الشكل الخماسي المنتظم هو 540 درجة.
- ولأن الزوايا الخمس متساوية، لإيجاد قياس كل زاوية من زوايا خماسي منتظم، نقسم مجموع قياسات الزوايا على خمسة ونحصل على 180 درجة.
كيفية رسم البنتاغون
البنتاغون له أشكال مختلفة، هناك خماسي محدب، وخماسي مقعر، وخماسي دائري، وخماسي منتظم مرسوم على النحو التالي.
- احصل على بوصلة ومسطرة.
- نشير إلى طول ضلع البنتاغون الذي نريد رسمه.
- نضع الطول المطلوب من الأضلاع على الفرجار.
- نصلح إبرة البوصلة في نقطة واحدة، ثم نرسم قوسًا صغيرًا بقلم البوصلة.
- نرسم خطًا مستقيمًا بين نقطة وضع الفرجار والقوس المرسوم.
- نضع إبرة البوصلة عند النقطة التي يتزامن فيها الخط المرسوم مع القوس الأول الذي رسمناه، مع الحفاظ على نفس طول الجانب الذي تنازعنا فيه على البوصلة.
- إنه، كما قلنا، طول ضلع البنتاغون، ثم نرسم القوس الثاني.
- نقوم بتوصيل نهاية الجانب الذي رسمناه والقوس الثاني.
- نكرر هذه العملية خمس مرات حتى نرسم خمسة أقواس بالبوصلة، ثم نحصل على خماسي منتظم.
- طول ضلعها هو الطول الموضح على البوصلة، وزاويتها الداخلية 180 درجة.
تعريف وخصائص المضلع المحدب
يتم تعريف المضلع المحدب في الهندسة الإقليدية على أنه أي مضلع لا يتقاطع امتداد أي جانب مع أي من جوانبه الأخرى. خصائص المضلع المحدب هي:
- أي زاوية داخلية لمضلع محدب أقل من 180 درجة أو تساويها.
- رسم أي قطعة خطية بين رأسين غير متجاورين، أو حتى رؤوس غير متجاورة، وعمومًا أي قطعة خطية بين نقطتين على محيط مضلع منتظم، سيمر عبر المضلع أو حدوده.
- أي مثلث في الهندسة هو مضلع محدب.
- يجب أن ينتمي أي مضلع محدب إلى نصف المستوى الذي يمكننا تحديده بواسطة أحد جوانبه.
- يتم الحصول على مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع محدب من خلال (عدد جوانب المضلع المحدب ناقص اثنين) × 180.
- مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب هو 360 درجة.
- سينتج عن تقاطع أي مضلعين محدبين شكل مضلع محدب.
- إذا كان لدينا مجموعة كبيرة من المضلعات المحدبة، ونتج عن تقاطع ثلاثة من هذه المضلعات مجموع غير فارغ، فسيكون تقاطع جميع المضلعات في هذه المجموعة أيضًا مجموعة غير فارغة.
- نظرية الخطوط المفرطة الانقسام. إذا كان لدينا مضلعان محدبان لا يلتقيان في أي وقت، فهناك خط بينهما يسمى الحاجز.
- وإذا كان أحد هذه المضلعات مضغوطًا، فسيكون هناك خطان فاصلان متوازيان.
- بالنسبة لأي مضلع محدب، يمكن رسم مجموعة من المثلثات بالداخل، حيث سيكون لأحد هذه المثلثات مساحة أكبر من المثلثات الأخرى، وجميع رؤوسه عبارة عن رؤوس في المضلع.
مضلع مقعر
كل شكل هندسي يحتوي على زاوية انعكاس أكبر من 180 درجة على الأقل.
امتداد أي جانب من جانب محدب مقعر يتقاطع مع جانب آخر فيه، ويتميز المحدب المحدب بإمكانية تقسيمه إلى عدد من المضلعات المحدبة.
اقرأ أيضًا: أهمية نظرية فيثاغورس في الرياضيات
خصائص المضلع المقعر
يتميز المضلع المقعر بالخصائص التالية مقارنة بالمضلع المحدب:
- المضلع المقعر هو أي مضلع يتكون من مجموعة من المقاطع المستقيمة التي تشكل شكلًا هندسيًا مغلقًا له زاوية انعكاس واحدة على الأقل.
- في كل مضلع، إذا رسمنا خطًا مستقيمًا ويتقاطع مع جانبين فقط من جوانب المضلع، فإن هذا المضلع يكون مضلعًا محدبًا.
- إذا تقاطع خط مع ثلاثة أو أكثر من جوانب المضلع.
- إذن هذه الهندسة عبارة عن مضلع مقعر.
- بالنسبة إلى المضلع المحدب، تقع جميع الأقطار داخل المضلع بشكل حصري.
- بينما في حالة المضلع المقعر، سيكون عدد الأقطار دائمًا خارج المضلع المقعر.
- جميع المضلعات العادية عبارة عن مضلعات محدبة، مثل المربع والمستطيل والمثلث ومتوازي الأضلاع.
- يمكن رسم المضلعات المحدبة بسهولة باستخدام المسطرة والبوصلة، بينما يصعب رسم المضلعات المقعرة.
ضع دائرة حول النقاط المشتركة
في الهندسة الإقليدية، مجموعة النقاط المشتركة التي نسميها دائرة هي مجموعة النقاط التي تكون كل نقطة منها على مسافة متساوية من نقطة معينة.
وهذه النقطة بالذات هي مركز الدائرة، ولكي تكون مجموعة من النقاط مشتركة مع نقطة إذا التقى المنصفان العموديان لأي نقطتين عند نقطة هي مركز الدائرة.
مضلع منتظم عشري
إنه نوع من المضلعات المحدبة تتكون من عشرة جوانب متساوية الطول وعشرة رؤوس وعشرة زوايا متساوية.
أيضًا، يتم حساب مجموع الزوايا الداخلية لعشر أضلاع منتظم عن طريق استبدال العلامة n في القانون بـ 10، ثم تكون النتيجة 1440 درجة، ويكون قياس كل زاوية من الزوايا الداخلية 144 درجة.
يمكن أيضًا رسم عشري بسهولة باستخدام البوصلة والمسطرة.
انظر هنا أهداف الرياضيات العامة
وهكذا أوضحنا في المقال أن البنتاغون المنتظم هو أحد أنواع المضلعات المحدبة، وأن مجموع قياسات زوايا البنتاغون هو 540 درجة، وقياس الزاوية الداخلية للخماسي المنتظم هو 108 .