يمكن التعرف على قانون حساب الوتر في المثلث القائم من خلال نظرية فيثاغورس التي تشرح العلاقة بين أضلاع المثلث والوتر.
مثلث قائم
- المثلث القائم الزاوية هو أحد أنواع المثلثات التي لها زاوية قائمة قياسها 90 درجة. يُعرف أطول ضلع في المثلث بالوتر، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة. يُعرف جانبي المثلث بأرجل المثلث.
انظر أيضًا: قانون محيط المثلث بعلامات
الوتر في مثلث قائم الزاوية
- تنص نظرية فيثاغورس على ما يلي: “في المثلث القائم، يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعات أطوال الضلعين المجاورين للزاوية القائمة.”
- مما سبق نستنتج أن مربع طول الوتر عند الزاوية القائمة يساوي مربعي طولي الضلعين في الزاوية القائمة.
مثال توضيحي
- في المثلث القائم أ، ب، ج
من هذا يتضح لنا أن وتر المثلث هو AB، وبالتالي يمكننا استدعاء كل ضلع من أضلاع المثلث بحرف على النحو التالي:
- AB = C، A = B، BC = A.
- أي ب c2 + c2 = ab2، أو يمكن أن يُقال أيضًا على النحو التالي: a2 + b2 = c2.
- نظرية فيثاغورس مفيدة في تحديد طول أحد أضلاع المثلث القائم الزاوية عندما تكون أطوال ضلعي المثلث الآخرين معروفة.
- على سبيل المثال، إذا كانت أ = 4، ب = 3.
- من هذا نستنتج أن a2 + b2 = 32 + 42 = 25 = c2.
- مما سبق نستنتج أن ج = 5.
مثال توضيحي آخر
- في مثلث قائم الزاوية طول قاعدته 4 سم وارتفاعه 3 سم، ما طول وتر المثلث؟
الحل:
- مربع الوتر = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
- مربع الوتر = 16 + 9 = 25 سم.
- بعد الحصول على الجذر التربيعي، نستنتج أن مربع الوتر = 5 سم.
مثال توضيحي آخر
- إذا كان هناك مثلث طول ضلعه الأول 5 سم والضلع الثاني طوله 3 سم وطول الوتر 7 سم، فيجب إثبات أن المثلث مثلث قائم الزاوية.
الحل:
في الحل، سوف نتبع نظرية فيثاغورس على النحو التالي.
- مربع الوتر = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
- ومربع الوتر = 49
- مربع الضلع الأول = 25
- مربع الضلع الثاني = 9
- بالتعويض، نحصل على المعادلة التالية: 49 = 25 + 9، لذا 49 = 34.
- بعد التعويض في القانون، يتضح لنا أن مربع ضلعي المثلث لا يساوي مربع الوتر، ومن هذا نستنتج أن المثلث ليس قائم الزاوية.
النظرية العكسية لنظرية فيثاغورس
تقول نظرية عكس نظرية فيثاغورس:
- (في المثلث، إذا كان مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعات أطوال الضلعين الآخرين، فهذا المثلث قائم الزاوية، والزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع، والضلع الأطول هو الوتر.)
معرفة طريقة قانون جيب التمام لزاوية عند حساب طول وتر المثلث
- يشير مصطلح جيب التمام للزاوية أو المماس إلى العلاقات المختلفة بين زوايا المثلث القائم أو أضلاعه، ويمكن تعريف جيب الزاوية في المثلث القائم على أنه طول الضلع المقابل للزاوية. بعد تقسيمه على وتر المثلث.
- تحتوي الآلة الحاسبة على زر مخصص لاستخدام الجيب، وهو الزر المسمى الجيب، ويمكن استخدامه بالضغط عليه ثم إدخال قياس الزاوية المطلوب للعثور على جيبه بالدرجات.
- لتبسيط حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية، من الضروري معرفة قانون الجيب، حيث يحدد القانون ما يلي: / الجا ج).
- عند تسمية أضلاع المثلث، يجب استخدام الأحرف A و B و C، ويجب أن يقوم أطول ضلع في المثلث، وهو الوتر، بتشغيل الحرف “c” وتشغيل الحرف “A”. على الجانب الذي نعرف طوله، وعلى الجانب الآخر نطلق عليه الحرف B، لتسهيل الحساب.
- يجب تسمية الأحرف أيضًا بزوايا المثلث، بشرط أن يسمى الحرف C بالزاوية المقابلة للوتر، وهي الزاوية القائمة، ويسمى الحرف A بالزاوية المقابلة A، ويسمى الحرف B ؛ الزاوية المقابلة للضلع B.
حساب وتر المثلث القائم الزاوية باستخدام العلاقات المثلثية
تعد النسب المثلثية مفيدة عند حساب أضلاع المثلث القائم الزاوية عندما نعرف قياس أي زاوية في مثلث غير قائم الزاوية ونعرف طول أحد أضلاع المثلث. يوضح ما يلي كيفية الاستخدام. هو – هي
- الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- cos = الضلع المجاور للزاوية / الوتر.
- tan = الضلع المقابل للزاوية / الضلع المجاور للزاوية.
أنظر أيضا: مساحة المثلث الأيمن و متساوي الأضلاع
مثال توضيحي للاستخدام
- إذا كان ab c مثلثًا قائمًا في b، فإن طول الضلع bc يساوي 7 سم ودرجة الزاوية c = 53 °، فأوجد قياس أج وتر المثلث والضلع AB.
الحل:
- يمكن حساب طول الضلع AB باستخدام مماس الزاوية، والضلع AB المقابل للزاوية c.
- من هذا نستنتج أن za c = ab / bc = za 53 = ab / 7.
- AB = 7 × 1.33 = 9.29 سم.
وبالتالي، يمكن معرفة الوتر بطريقة جيب التمام أو طريقة نظرية فيثاغورس، والآن سنحسب طوله بطريقة جيب التمام على النحو التالي:
- = الضلع المجاور / وتر الزاوية c.
- كوس 53 = ب ج.
- الوتر = 7 / وتر.
- الوتر = 0.6 / 7 = 11.7 سم.
مثال توضيحي آخر
- في المثلث القائم الزاوية، إحدى الزاويتين تساوي 67 درجة والضلع المقابل للزاوية طولها 24 سم، أوجد طول الوتر.
الحل:
هنا يمكن استخدام طريقة جيب التمام لحساب طول الوتر على النحو التالي:
- الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- الخطيئة 67 = 24 / وتر المثلث.
- الوتر = 26.1 سم.
مثال توضيحي آخر
- إذا كانت زاوية المثلث القائم الزاوية 5 ° والوتر 6 cm، فما طول الضلع المقابل للزاوية 50 °؟
الحل:
نظرًا لأن لدينا طول الوتر، وهنا نحتاج فقط لحساب طول الضلع المقابل للزاوية، يمكننا استخدام طريقة جيب التمام بالخطوات التالية:
- الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- sin 50 = الضلع المقابل للزاوية / 6.
- الضلع المقابل للزاوية 50 = 4.6 سم.
مثال توضيحي آخر
- إذا كان هناك مثلث قائم طول وتره 10 سم وطول أحد ضلعه 8 سم، فما طول الضلع الآخر؟
الحل:
في هذه المعادلة، سوف نتبع نظرية فيثاغورس في حساب طول ضلع المثلث بالخطوات التالية:
- بالتعويض عن a2 + b2 = c2 في القانون، نستنتج أن 82 + b2 = 102.
- وهكذا، b2 = 36، وبأخذ الجذر التربيعي، نستنتج أن b = 6 cm.
مثال توضيحي آخر
- إذا كان هناك مثلث قائم طوله 9 سم ووتر طوله 15 سم، فما طول الضلع الآخر من المثلث؟
الحل:
- تطبيق نظرية فيثاغورس التي تنص على أن مربع طول الوتر = مربعان من أطوال أضلاع المثلث.
نختتم ما يلي بالتعويض بموجب القانون.
- 152 = 92 + طول الضلع الثاني يساوي 2.
- بطرح 81 من كلا الطرفين، نحصل على طول الضلع الثاني كما يلي: 2 = 144.
- بعد أخذ الجذر التربيعي، نحصل على طول الضلع الثاني = 12 cm.
أنظر أيضا: تعبير لمحيط المثلث
بهذا نختتم مقالنا حول قانون حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية، والذي تعلمنا فيه عن أهم طرق حساب الوتر، ونأمل أن تعجبك المقالة.