إيجاد وإثبات الهويات المثلثية. تعتبر الهويات المثلثية من أهم فروع الرياضيات التي تعنى بدراسة العلاقة بين زوايا وجوانب المثلثات. لفرع علم المثلثات العديد من الروابط مع فروع الرياضيات الأخرى، مثل: حساب التفاضل والتكامل والأرقام المركبة والمتسلسلات اللانهائية واللوغاريتمات.
مقدمة في الهويات المثلثية وإثباتها
يعرف علم المثلثات بأنه العلم الذي يتعامل مع العلاقة بين زوايا المثلثات والأضلاع المقابلة لهذه المثلثات والعديد من الأسئلة العملية الأخرى.
انظر أيضًا: البحث عن التهديدات التي يتعرض لها التنوع البيولوجي وطرق الحفاظ عليه
ما هو علم المثلثات؟
- علم المثلثات هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع الأسئلة المتعلقة بالمثلثات، حيث يدرس المسافة بين الأضلاع وبعضها، بالإضافة إلى التعرف على قياسات الزوايا المختلفة في المثلث.
- علم المثلثات هو فرع مفيد للغاية لأنه يستخدم في العديد من فروع العلوم الأخرى مثل الهندسة والتطبيقات الإلكترونية والفروع الأخرى.
- يرتبط علم المثلثات أيضًا بالوظائف التي تتضمن الزوايا، والتي يتم تمثيلها بجيب الزاوية وجيب الزاوية وظل الزاوية.
ما هو مفهوم الهويات المثلثية؟
يتم تعريف الهويات المثلثية أو المعادلات المثلثية على أنها متطابقات تتكون من مجموعة من الدوال المثلثية، وهذه الهويات مهمة جدًا لأنها تُستخدم في حل المعادلات الرياضية، خاصة في انعكاس الدالة.
تعريف المثلث
يعتبر المثلث من أهم الأشكال الهندسية في الجبر والهندسة، وهذا المثلث له تكوينات مختلفة عن أي شكل آخر ويتكون من رأس مثلث وضلعان آخران ويصبح هذا الشكل 180 درجة ويوجد 3. أنواع المثلثات (مثلثات متساوية الأضلاع – متساوي الساقين – الزوايا القائمة).
مثلثات متطابقة
هناك مجموعة من الحالات التي تكون فيها المثلثات متطابقة، أي أن المثلثات متشابهة أو متساوية في الأضلاع المتناظرة، والزوايا المقابلة متساوية أيضًا، أو كلاهما، وحالات تطابق المثلثات هي:
- إذا كانت ثلاثة أضلاع من المثلث متساوية في الحجم مع مثلث آخر، وبالتالي فإن الزوايا المقابلة لهذه الأضلاع في كل من المثلثين متساوية، فيمكننا القول في هذه الحالة إن المثلثين متطابقان.
- إذا كانت هناك زاوية قياس معروفة في مثلثين وضلوعها المتجاورين، فإن الزاوية المقابلة لها في المثلث الآخر ونفس الأضلاع في المثلث الآخر متساوية في القياس، وفي هذه الحالة يمكننا القول إن المثلثين : متسقة.
- إذا كان لمثلث متساوي الأضلاع زاويتان وضلع به زاويتان متناظرتان، وضلعًا في مثلث آخر، فيمكننا القول إن المثلثين متطابقان.
انظر أيضًا: إيجاد الزوايا والخطوط المتوازية في الرياضيات
أنواع الهويات المثلثية وإثباتها
توجد مجموعة من الهويات المثلثية الموجودة أساسًا، وأهم أنواع هذه الهويات المثلثية هي:
هويات المعامل
تشمل هويات التصويت ما يلي:
- y = cos x ÷ cos y، حيث x هي ظل الزاوية، و cos هي جيب الزاوية، وجيب تمام الزاوية، و y هي الزاوية.
- الوقت y = cos x ÷ cos x، حيث cos هو قسم الزاوية.
- الهويات المتبادلة
- يشمل مقلوب الرقم المطابقات التالية:
- Cos y = 1 ÷ cos x، cos = 1 cos y، حيث s تشير إلى مقطع الزاوية و q تشير إلى جيب تمام الزاوية.
- tan y = 1 ÷ zy y لأن tan يشير إلى ظل ظل التمام.
- هويات فيثاغورس
- تشمل هويات فيثاغورس التالية:
- cos2 r + sin 2 y = 1 q2 r – tan 2 y = 1 q2 y – q2 r = 1
نظرية فيتاجوراس
- تعتبر نظرية فيثاغورس واحدة من أشهر النظريات المطورة في علم المثلثات، وتستخدم هذه النظرية لإيجاد طول الوتر المقابل للزاوية القائمة في المثلث.
- تستند هذه النظرية إلى حقيقة أن مربع طول الوتر يساوي مربع طول الضلع الأول زائد مربع طول الضلع الثاني. يستخدم قانون فيثاغورس رياضيا. :
- مربع طول الوتر = مربع طول الضلع الأول من المثلث + مربع طول الضلع الثاني من المثلث القائم.
- يمكن أيضًا تطبيق نظرية فيثاغورس في الاتجاه المعاكس، إذا كان مربع طول الضلع الأكبر يساوي مربع طول الضلع الآخر زائد مربع أحد جانبي المثلث، فإن المثلث يكون الزاوية اليمنى.
أهم تطبيقات علم المثلثات في الحياة
هناك العديد من التطبيقات التي تستخدم علم المثلثات وتستفيد من قواعده، ومن أهم هذه التطبيقات:
- علم التنجيم. يستخدم علم المثلثات لحساب المسافة بين الشمس والأرض، والمسافة بين القمر والأرض، ونصف قطر الأرض، والمسافات بين الكواكب وبعضها.
- هندسة عامة. تستخدم المثلثات في العمارة حيث لا يمكن بناء منزل أو مبنى دون قياس زوايا جدران المنزل وكذلك قياس الأعمدة لتجنب انهيار المنزل أو تشويه الجدران.
- تطبيقات في الملاحة. يمكن أيضًا استخدام المثلثات في العمليات الملاحية، حيث يتم استخدام السادس، وهو أداة تستخدم لقياس المسافات باستخدام التثليث.
راجع أيضًا: مسح تفصيلي لفئة الخطوط المستقيمة والتقاطع
استنتاج حول الهويات المثلثية وإثباتها
الهويات المثلثية من تلك الفروع المفيدة والمهمة التي أثبتت أهميتها في تبسيط وتسهيل العديد من أمور الحياة، بالإضافة إلى الإسهام في العديد من العلوم الأخرى التي تفيد الإنسان وتنهض به في كثير من المجالات.