يثبت الضرب الداخلي للمتجهات الخاصية الترابطية، يقدم لك موقع القلعة الضرب الداخلي للمتجهات التي تثبت الخاصية الترابطية، لأن إحدى العمليات المهمة في الرياضيات هي الضرب الداخلي للمتجهات، والذي يمكننا من خلاله إجراء العديد من العمليات الحسابية على ناقلات مختلفة.
يلبي الضرب الداخلي للمتجهات الخاصية الترابطية
سنطرح سؤالاً هامًا: هل الضرب الداخلي للمتجهات يفي بالخاصية الترابطية؟
لذلك نجيب. لا تحقق عملية الضرب الداخلي للمتجهات الخاصية الترابطية، لذا فإن هذه المعلومات غير صحيحة ؛ وذلك لأن الخصائص الجبرية المرتبطة بشكل خاص بعمليات الضرب الداخلي هي:
- خاصية الاستبدال.
- والممتلكات التوزيعية.
- خاصية مضاعفة العدد الحقيقي.
اقرأ هنا عنها. هل العنصر المحايد لعملية الضرب هو صفر؟
عمليه الضرب
- من أهم العمليات في الرياضيات عملية الضرب، حيث تُعرف عملية الضرب بعلامة (×).
- هذه العملية هي الإضافة المتكررة لرقم واحد إلى رقم معين مقارنة برقم آخر مضروبًا فيه.
- يجب أن نشير إلى أهم القواعد في هذه العملية وهي (علامات الأرقام).
- عندما نضرب رقمًا بعلامة سالبة في رقم بعلامة سالبة، نحصل على رقم موجب.
- وفي الوقت نفسه، إذا تم ضرب رقمين لهما علامات مختلفة، فستكون النتيجة سالبة.
الآن سنتحدث عن أهم الخصائص الرياضية لعملية الضرب.
ما هي أهم الخصائص الرياضية لعملية الضرب؟
- منذ زمن الإغريق، اكتشف علماء الرياضيات القوانين والقواعد التي يمكن تطبيقها على الأعداد، وخاصة الضرب.
- لقد حددوا خمس خصائص رئيسية لا تزال صحيحة حتى يومنا هذا.
على الرغم من بساطة وبساطة هذه الخصائص، إلا أنها مهمة للغاية لحل العديد من العمليات الحسابية المعقدة، وسنشرح الآن هذه الخصائص:
1_ إجمالي الملكية
- وهذا هو جوهر مناقشتنا اليوم، لأنه من المعروف أن الخاصية الترابطية تنطبق على الضرب.
- عندما يتم تجميع الأرقام، أي، يتم وضع جميع الأرقام بين قوسين، وكما نعلم، فإن أحد القواعد العامة للرياضيات هو ترتيب العمليات الحسابية.
- العملية الأولى هي ما يوجد داخل الأقواس، وعلى الرغم من أن عملية الضرب لها حالة خاصة، إلا أن وجود الأقواس لا يؤثر عليها، وستكون النتيجة واحدة.
- مثال: (axb) xc = (cxb) x a.
- مما يعني أن الترتيب في عملية الضرب غير مهم، لذا يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي: (AXBXC).
2_ الملكية المتبادلة
يتم تحديد الخاصية التبادلية للضرب من خلال نصها. عندما نضرب رقمين أو أكثر، لا تتأثر النتيجة بترتيب الأرقام، على سبيل المثال
axb = bxa، وأن mxnxe = nxexm = exnxm
3_ توزيع الممتلكات
تتشكل هذه الخاصية في عملية الضرب عن طريق قسمة الرقم خارج الأقواس ويتم ضربها في جميع المصطلحات الموجودة داخل الأقواس، على سبيل المثال
أ (ب + ج) = أب + ج أو ج (أ + ب) = أ + ب ج.
وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن استخدام هذه الميزة لتخفيف صعوبة أي معادلة رياضية معقدة، سواء كان ذلك توسيع المعادلة الرياضية أو تقييم المعادلة الرياضية.
4_ ملكية صفرية
هذه الخاصية هي إحدى القواعد المميزة للرقم صفر. يعتمد ذلك على حقيقة أن نتيجة ضرب أي رقم بصفر تساوي صفرًا، بغض النظر عن قيمة أو علامة الرقم.
5_ خاصية الهوية
تعتمد هذه الخاصية على حقيقة أنه عند ضرب رقم في 1، يتم الحصول على نفس الرقم، بغض النظر عن قيمة أو علامة الرقم، على سبيل المثال
- عندما نضرب 4 و 2، تكون النتيجة 8، أي رقم يختلف عنهما.
- هذا يعني أن العددين عكسوا هويتهم والنتيجة هي 8، بينما عندما نضرب 4 في 1، تكون النتيجة 4.
- هذا يعني أن الرقم 8 احتفظ بهويته حتى بعد الضرب.
ولا تفوت قراءة مقالتنا. مسح موجز للضرب الداخلي
عملية الضرب الداخلي
يستخدم الضرب الداخلي في العديد من التطبيقات المتنوعة، والتي من خلالها يمكننا معرفة طول المتجه أو الزاوية بين متجهين أو معرفة بعض القيم الفيزيائية الموجودة في أنواع مختلفة من المشاكل.
ومن مفاهيمها أنها تكاثر النواقل ببعضها البعض واستخراج أشياء كثيرة، كما أنها تستخدم في كل منها ؛
- الشغل
- بيان القدرات.
- المجال المغناطيسي.
يطلق عليه في الفيزياء (الضرب الموجه) ؛ هذا بسبب تفرده، والخصائص التي تميزه عن الضرب العادي.
يتم الحصول على هذا الضرب في شكل متجه مستطيل عند المستوى الذي يقع تحته المتجهان، على عكس ما يحدث أثناء الضرب القياسي، حيث يكون ناتجها كمية قياسية، مما يجعلها أكثر اختلافًا عن غيرها.
يمثل هذا المتجه مجموعة من الأرقام التي تتكون عموديًا وأفقيًا.
الفرق بين الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي
- هناك فرق كبير جدًا بين الضرب الداخلي والضرب العرضي، لأن الضرب التبادلي يحدث بين متجهين، وحاصل ضربهما هو حاصل ضرب أحدهما في المتجه الآخر.
- لذلك، يمكننا حسابها باستخدام مجموع حاصل ضرب الإحداثيات المتقابلة بين متجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد، أي في عملية ثنائية.
- حيث تكون النتيجة متجهًا عموديًا على المستوى الذي ينتمي إليه، ونرى أيضًا أن الضرب التبادلي يحدث بين المتجهات في الفضاء.
- وبالتالي، فإن نتيجة عملية الضرب ثنائية الاتجاه ليست رقمًا، كما هو الحال مع الضرب الداخلي، بل هي بالأحرى متجه ؛ بمعنى، من المفترض أن يكون المتجه عموديًا على المستوى الذي يحدث فيه الضرب.
- هناك عدة أسماء أخرى للضرب الداخلي مثل (الضرب الاتجاهي، توجيه موجه، الضرب المتبادل).
خصائص عملية الضرب الداخلي للناقلات
يتميز الضرب الداخلي بالعديد من الميزات التي تجعله فريدًا، والتي سنذكرها أدناه:
هناك العديد من الخصائص الجبرية للضرب المنتظم وهي تنطبق أيضًا على الضرب الداخلي.
بشكل أساسي، هذه الخصائص موجودة في كل عملية من عمليات الضرب وهي:
- خاصية الاستبدال.
- والممتلكات التوزيعية.
- خاصية مضاعفة العدد الحقيقي.
هذا مرتبط بما ذكرته في بداية المقال عن خصائص الضرب الداخلي.
- هناك بعض الخصائص التي تنطبق فقط على الضرب الداخلي.
- على سبيل المثال، خاصية الضرب الداخلي، أي عندما يتم ضرب متجه في متجه آخر يكون حجمه صفرًا.
- إحدى الخصائص التي يمتلكها الضرب الداخلي فقط هي الضرب المتجه.
- كما ذكرنا، هناك علاقة بين طول المتجه والمنتج الداخلي.
- تكون طريقة كتابة المتجه في شكل تداخل خطي لمتجهين قياسيين للوحدة، ويمكن كتابة المتجه على شكل تداخل خطي لمتجه معياري للوحدة.
- يمكن أيضًا كتابتها كمجموعة، مع الأخذ في الاعتبار أن المتجه القياسي للوحدة يتم ضربه في اتجاه كل منها في المكون.
- هناك العديد من الفرضيات التي طرحها العلماء والتي تحدد الكميات في شكل مراسلات خطية.
أدعوك أيضًا لقراءة: أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات
تكتسب عملية الضرب الداخلي للمتجهات خاصية الترابط، ومن خلال هذه المقالة تمكنا من معرفة الفرق بين الضرب الداخلي والضرب العادي والضرب العرضي وكذلك الخصائص العامة والجبرية لكليهما.