الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية. إن أهم استخدام للجبر الخطي للاقتصاديين هو التعامل مع النماذج الاقتصادية القياسية الخطية. الاستخدام الرئيسي الثاني للجبر الخطي لطلاب الاقتصاد هو كأساس لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والتحسين.
بالطبع، هناك العديد من التطبيقات الأخرى للجبر الخطي، وسنتحدث عنها اليوم ؛ اتبع موقع القلعةة للتعرف على الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية.
الجبر الخطي
الجبر الخطي هو فرع من فروع الرياضيات يهتم بالمعادلات الخطية مثل:
a1x1 +… + القلق ن = ب
والخرائط الخطية مثل
x1، …، xn) a1x1 + … + القلق)
وتمثيلاتها في فضاءات المتجهات والمصفوفات.
الجبر الخطي أساسي لجميع مجالات الرياضيات تقريبًا، على سبيل المثال، الجبر الخطي أساسي في التمثيل الحديث للهندسة.
بما في ذلك تحديد الكائنات الأساسية مثل الخطوط والطائرات والدوران، يمكن أيضًا النظر في التحليل الوظيفي.
إنه فرع من فروع التحليل الرياضي، وفي المقام الأول تطبيق الجبر الخطي على الفراغات الوظيفية.
يستخدم الجبر الخطي أيضًا في العديد من مجالات العلوم والهندسة لأنه يمكنه نمذجة العديد من الظواهر الطبيعية ويمكنه استخدام هذه النماذج لإجراء عمليات حسابية فعالة.
بالنسبة للأنظمة غير الخطية التي لا يمكن نمذجتها بواسطة الجبر الخطي، يتم استخدامها عادةً للتعامل مع التقديرات التقريبية من الدرجة الأولى.
نظرًا لأن تمايز دالة متعددة المتغيرات عند نقطة ما هو أفضل تعيين خطي.
أنظر أيضا: الإدارة المالية والتمويل
تاريخ موجز للجبر الخطي
يظهر إجراء لحل المعادلات الخطية المتزامنة، والذي يسمى الآن القطع الناقص الغاوسي، في الفصل الثامن من نص رياضي صيني قديم.
المصفوفات المتعامدة لتسعة فصول في الفن الرياضي، واستخدامها في ثمانية عشر مسألة، مع المعادلات من اثنين إلى خمسة.
نشأت أنظمة المعادلات الخطية في أوروبا مع إدخال الإحداثيات في الهندسة عام 1637 بواسطة رينيه ديكارت.
في الواقع، في هذه الهندسة الجديدة، التي تسمى الآن الهندسة الديكارتية، يتم تمثيل الخطوط والمستويات بالمعادلات الخطية، ويكافئ حساب التقاطعات حل أنظمة المعادلات الخطية.
تم استخدام الطرق المنهجية الأولى لحل الأنظمة الحتمية الخطية، والتي تمت دراستها لأول مرة بواسطة Leibniz في 1693.
في عام 1750، استخدمها غابرييل كرامر لإعطاء حلول دقيقة للأنظمة الخطية، والتي تسمى الآن قاعدة كرامر.
وصف جاوس في وقت لاحق طريقة الإزالة، والتي تم تضمينها في الأصل على أنها تقدم في الجيوديسيا.
في عام 1844، نشر هيرمان جراسمان The Theory of Extensions، والتي تضمنت موضوعات أساسية جديدة لما يسمى الآن بالجبر الخطي.
في عام 1848، قدم جيمس جوزيف سيلفستر المصطلح مصفوفة، وهي لاتينية تعني الرحم.
يرتبط الجبر الخطي بالهندسة
هناك علاقة قوية بين الجبر الخطي والهندسة والتي بدأت مع إدخال رينيه ديكارت للإحداثيات الديكارتية في عام 1637.
في هذه الهندسة الجديدة (في ذلك الوقت)، التي تسمى الآن الهندسة الديكارتية، يتم تمثيل النقاط بواسطة الإحداثيات الديكارتية.
وهي عبارة عن تسلسلات من ثلاثة أرقام حقيقية (في مساحة ثلاثية الأبعاد عادية).
يتم أيضًا تمثيل الكائنات الرئيسية للهندسة، وهي الخطوط والمستويات، بالمعادلات الخطية.
وبالتالي، فإن حساب تقاطع الخطوط والمستويات يعادل حل أنظمة المعادلات الخطية، وكان هذا أحد الدوافع الرئيسية لتطوير الجبر الخطي.
معظم التحولات الهندسية، مثل الترجمات والدوران والانعكاسات والحركات الجامدة والقياسات المتساوية والإسقاطات، تحول الخطوط إلى خطوط.
ويترتب على ذلك أنه يمكن تعريفها وتحديدها ودراستها باستخدام الخرائط الخطية، وهذا هو الحال أيضًا مع التجانس وتحولات موبيوس، عند النظر في تحويلات الفضاء الإسقاطي.
حتى نهاية القرن التاسع عشر، تم تحديد المسافات الهندسية من خلال مسلمات النقاط والخطوط والمستويات (الهندسة التركيبية).
في هذا التاريخ، أصبح من الواضح أنه يمكن أيضًا تحديد المساحات الهندسية باستخدام الإنشاءات التي تتضمن فراغات متجهة.
(انظر، على سبيل المثال، الفضاء الإسقاطي والفضاء الأفيني) الطريقتان متساويتان بشكل أساسي.
المساحات المتجهة التي تمت مناقشتها في الهندسة الكلاسيكية هي مسافات متجهة على الواقع، ولكن يمكن تمديد الإنشاءات إلى المساحات المتجهة في أي مجال.
السماح بالنظر في الهندسة في المجالات التعسفية، بما في ذلك المجالات المحدودة.
توفر العديد من الكتب المدرسية هذه الأيام مسافات هندسية للجبر الخطي في المستوى الأساسي. حيث يتم التعبير عن الهندسة عادةً كحقل فرعي للجبر الخطي.
الامتدادات والتعميمات
يقدم هذا القسم أيضًا العديد من الموضوعات ذات الصلة التي لا توجد عادة في كتب الجبر الخطي الابتدائية.
لكنها تعتبر بشكل عام أجزاء من الجبر الخطي في الرياضيات المتقدمة، ومن الأمثلة على ذلك:
- نظرية الفضاء الحلقي – نظرية الوحدة
- الجبر متعدد الخطوط وموترات
- مساحات ناقلات طوبولوجية
- الجبر المثلي
استخدامات وتطبيقات الجبر الخطي
يستخدم الجبر الخطي في جميع مجالات الرياضيات تقريبًا، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بجميع المجالات العلمية التي تستخدم الرياضيات تقريبًا. يمكن تقسيم هذه التطبيقات إلى عدة فئات واسعة.
هندسة فضاء المحيطات
يعتمد نموذج الفضاء المحيط على الهندسة، وتستفيد العلوم التي تتعامل مع هذا الفضاء على نطاق واسع من الهندسة.
لذلك فإنه مع الميكانيكا والروبوتات لوصف ديناميات الجسم الصلب، والجيوديسيا لوصف شكل الأرض.
المنظور ورؤية الكمبيوتر ورسومات الكمبيوتر لوصف العلاقة بين المناظر الطبيعية وصورتها المسطحة والعديد من المجالات العلمية الأخرى.
في جميع هذه التطبيقات، غالبًا ما تُستخدم الهندسة التركيبية للأوصاف العامة والأساليب النوعية، ولكن لدراسة المواقف الواضحة.
يجب على المرء أن يحسب باستخدام الإحداثيات، وهذا يتطلب استخدامًا مكثفًا للجبر الخطي.
اخترنا لكم مفهوم الاقتصاد وأنواعه
تحليل الوظيفة
دراسة التحليل الوظيفي الفراغات الوظيفية. هذه مساحات متجهة لها بنية إضافية، مثل مساحات هلبرت.
وبالتالي، يعد الجبر الخطي جزءًا أساسيًا من التحليل الوظيفي وتطبيقاته، والتي تشمل على وجه الخصوص ميكانيكا الكم (وظائف الموجة).
دراسة الأنظمة المعقدة
يتم نمذجة معظم الظواهر الفيزيائية بواسطة معادلات تفاضلية جزئية، وعادة ما يتم تحليل الفضاء لحلها.
حيث يتم البحث عن الحلول في الخلايا الصغيرة المتفاعلة، وبالنسبة للأنظمة الخطية، يتضمن هذا التفاعل وظائف خطية.
بالنسبة للأنظمة غير الخطية، غالبًا ما يتم تقريب هذا التفاعل بوظائف خطية، في كلتا الحالتين.
يتم أيضًا تضمين المصفوفات الكبيرة جدًا بشكل عام، والتنبؤ بالطقس هو مثال نموذجي.
الغلاف الجوي للأرض بأكمله، على سبيل المثال، مقسم إلى خلايا بعرض 100 كم وارتفاع 100 متر.
الحساب العلمي
تتضمن جميع الحسابات العلمية تقريبًا الجبر الخطي. وهكذا، تحسنت خوارزميات الجبر الخطي بشكل كبير، مع كون BLAS و LAPACK أكثر التطبيقات شيوعًا.
لتحسين الأداء، يقوم بعضهم تلقائيًا بضبط الخوارزميات في وقت التشغيل لتكييفها مع خصائص الكمبيوتر (حجم ذاكرة التخزين المؤقت، عدد النوى المتاحة …).
تم تصميم بعض المعالجات، عادةً وحدات معالجة الرسومات (GPU)، ببنية مصفوفة لتحسين عمليات الجبر الخطي.
تطبيقات الجبر الخطي في الاقتصاد
يحتوي الجبر الخطي على مجموعة كبيرة من التطبيقات. اعلم أن بعض النماذج الاقتصادية تستخدم معادلات وتباينات تفاضلية للتنبؤ بمستويات السوق أو تحسين الأرباح.
لذلك، يشارك الجبر الخطي في حل هذه المعادلات أو حتى الحصول على شروط لحل هذه المشكلات.
تعتمد معظم النظريات الرياضية الخطية على الجبر الخطي، لذلك لا توجد طريقة للهروب منها.
نظرًا لأننا نميل إلى تحديد المسائل الخطية كلما أمكن ذلك (أسهل في الحل)، فإننا نستخدم الجبر الخطي في علم الاقتصاد.
تطبيقات إسناد الرياضيات للجبر الخطي في الاقتصاد من قبل أميت جارج للاقتصاد هو فرع من المعرفة يتعامل مع إنتاج الثروة واستهلاكها ونقلها.
يمكن تقريب العديد من العلاقات الاقتصادية بواسطة المعادلات الخطية، ويمكن تحويل العلاقات الأخرى إلى علاقات خطية.
لذلك، فإن تحليل العديد من النماذج الاقتصادية يلخص دراسة أنظمة المعادلات الخطية والعلاقة بين الجبر الخطي والاقتصاد.
أفضل الأمثلة على تطبيق الجبر الخطي في الاقتصاد هي نموذج المدخلات والمخرجات الخاص بـ Leontief، وهو نموذج يوضح العلاقات المتبادلة بين مختلف فروع الاقتصاد.
تم تطويره بواسطة Vasily Leontief، وقسم الاقتصاد إلى قطاعات مختلفة مثل صناعة الفحم، والصناعة الزراعية، والصناعة التحويلية، إلخ.
استخدم أيضًا المعادلة الخطية لكل مقطع وكتب معادلة خطية تصف كيفية توزيع المقطع الناتج بين المقاطع الأخرى.
قد تكون مهتمًا. موضوع مقال عن الاقتصاد الرقمي
الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية في نهاية المقال الجبر الخطي مهم جدًا في علم الاقتصاد، على سبيل المثال، حيث يدور علم الاقتصاد الحديث حول البيانات، لذا فإن أشياء مثل الاقتصاد القياسي مهمة، وكذلك الاهتمام بتذكير أساسيات التحليل وأشياء كثيرة . أكثر.